Question

サカナ

317 (2]の問題で、
どうして、増減法を書かないといけないのかわかりません。増減表でなくても、x>0であるから、微分で導いた式を見ただけで、f'(x)>0であるから、f(x)>0と言えると思うんですが、よくわかりません。
教えてください。数学IIIです。

B問題
317 *>0のとき,次の不等式を証明せよ。
教p.190 応用例題4
1+x
(1)/ 2x>1og(1+x)°>2.x-x?
>log(1+x)
2
のとき
次の不等 を証明せト

(9x°+9)Vx*+4 -3.dx?+3)._ 2,
1
0
2+
x?+4
9(x?+1(x°+4)-3x\x?+3)
0
S(a)
Sx)
1-log2|
ニ
(x*+4)Vx+4
6(x*+6x?+6)
>0
(x+4)Vx+4
よって,x>0における f(x) の最小値は
1)=1-log2
1-log2>0であるから, x>0のとき
fx)2S(1)>0
ア=0 とすると
X=0
yの増減とグラフの凹凸は, 次の表のようにな。
したがって, x>0のとき
1+メ>10g(1+x)
|2
X
0
y
0
なる。
yn
x2
とすると
2
318 (1) /x) = sinx
f(x) =CoS.x-1+x
"(x) = -sin x+120
f"x)20より(x) は常に増加するから。
極小
y
2
したがって,曲線C
の概形は(図]のよう
になる。
25
f(x)>f(0) =0
x>0のとき
よって, f(x) は xN0 で増加するから, x>[@
f(x) >f(0) =0
2
とき
したがって,x>0 のとき
x-
sin x>xーつ
-1 0
1
2
とす
22 f(x) = log(1+x) -(x+xlog
x+2
317 (1) f(x) ==log(1+x)? - (2.x-x)とすると
2
-1-log
x+2
1
X
fl=ー!
-+ og2-。
1+x
x+2
fla)=-2+2r=-
2x?
-2+2x=
1+x
1+x
1
-+ log
1+x
x+
f(x) >0
よって,f(x) は x20 で増加する。
x>0のとき
x+2
1
1
2
x
f"(x) =-
ゆえに,x>0のとき
f(x)>f0) =0
x+2
(x+2?
したがって, x>0のとき
f(x)>0 すなわち log(1+x}*>2xーf
g(x) =2x-log(1+x)? とすると
x(x?+5x+5)
(x+1){x+2)?
f"(x)>0
x>0のとき
よって、f'(x) は xM0 で増加するから,
とき
2x
2
g'(x) =2-
1+x
f(x)>f(0) =0
よって,f(x) は x>0 で増加するから,
とき
1+x
x>0のとき
g'(x) >0
よって, g(x) は x>0で増加する。
ゆえに, x>0のとき
したがって, x>0のとき
「(x)>f(0) =0
したがって,x>0のとき
9(x) >g(0)=D0
2
log(1+x)>x+xlog
x+2
g(x) >0 すなわち 2x>log(1+x
これらより,x>0のとき
2x>1og(1+ x)?>2xーx?
る。
319 (1) f(x) =1og x -1og a
2(xーa)
x+a
- log(1+x) とすると
2
fla)=--
2(x+a)-2(x-a)-1
(x+a)?
1+x
(2) f(x) =
x>0のとき
1
f(x) =2
f'(x)20
よって、f(x) は x>0で増加する。
ゆえに,x2a>0のとき
1+x
21+x)
f(x) =0 とすると
fx)2
x=1
x>0におけるf(x) の増減表は次のようになる。

数学iii 微分の応用 4プロセス 解説

Answer 1

tra7345

＞　x>0であるから、微分で導いた式を見ただけで、f'(x)>0である

この認識が間違い、そうなっていないですよね。
０＜ｘ＜１のとき、f'(x)＜０（増減表でも－になっていますね）ですから。

このため、極小値が０よりおおきいことを
示す必要があります