この一次不等式と整数の問題は、clearでもかなり頻繁に質問されていて、皆口を揃えて「これだと○を含むから最大の整数は◎にならないと思います」と同じような質問をしています。それくらい皆がつまづき、僕自身も最初は同じことを思って悩んだところなので、しっかり理解してもらえるように頑張って説明します。だから、分からなかったところがあったら、はっきりわからないとコメントしてほしいです。あと丁寧に解説するので、回りくどいかもしれないです。
不等式を解く過程の説明は省きます。解いて図示したら1枚目の写真(図1)のようになり、これを満たす最大の整数が0なのでイメージとしては1枚目の写真(図2)のようになります。ここまでは大体の人がわかると思うのですが、問題となるのは-(a+3)/6が0とか1の境界線上に来たときで、このときに≦なのか＜なのかの「イコール含むのか含まないのか論争」が勃発します。
イメージとして、点-(a+3)/6がx軸上を動いていると考えてください。この点はaの値に応じて、その位置が変化していきますよね。2枚目の写真のように、a=-12なら2になるし、a=-9なら1になるし、a=-6なら0になり、それぞれの時で不等式の解x<-(a+3)/6は、x<2 , x<1, x<0となり、それは写真で示す範囲になります。ここで、大切なのは-(a+3)/6は動く点●ですが、不等式の範囲としては、-(a+3)/6は含まないということです。
すると、今問題となっているa=-9となるときには、x<1となりますね。そうしたら「x<1ということは、a=-9となるときは<だから含んではいけないから、-9 < a か」と皆考えるんですよね。これが大きな間違いです。これは、クァンダの人が言っているように、x<1というxの条件と、今求めたいaの範囲の条件を混同させてしまっています。
x<1(a=-9のとき)ということは、xは1を含まないということです。つまり、この範囲における最大整数は1ではなく0だということです。ということは、最大整数が0となるようなaの範囲として、a=-9は入りますよね。(3枚目)
もう一度丁寧に言うと、x<1から、ついつい-(a+3)/6=1、つまりa=-9は含めてはいけない、だから-(a+3)/6<1、すなわち-9<aと考えてしまう気持ちはわかりますが、それは違います。今考えているのは「範囲内の最大整数が0になるような」-(a+3)/6です。(-a+3)/6が点1の上にあるときは、1は範囲内から除外される、除外されるからこそ最大の整数は1ではなく0になって、含めてあげないといけないんです。