Question

ま

青チャートIIIの196番の問題です。解答の4、5行目ですが、逆数をとってt-1をかけていますが、どういう意味があるのでしょうか。
この後の微分をしやすくするためだと思いますが、どうやってこの変形をすると微分がしやすくなると気づけるのでしょうか。

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指針>2変数の不等式の証明の方法には, 前ページの検討の [1]~ [6] の方法が考えられるか、
が成り立つことを元性、
重要 例題196 2変数の不等
b-a
a+b
く
2
log b-loga
重要
0<a<bのとき,不等式Vab <
(岐阜大)
す。
最、
=tのおき換え の方針でいく。
6
a
の問題では 1ogbーloga=log-に注目し,
b
-1
a
b
1+
a
指針
b
く
b
log
a
2
a
不等式の各辺をa(>0) で割って
\ogt
解答
b
1
b
1+
a
b
a
く
6
log
a
不等式の各辺をa(>0) で割って
2
a
t-1-
ロニ=tとおくと, 0<aくbであるから t>1で, 不等式① は Vt<-
logt
1+t
と同催。
a
t>1のとき1ogt>0であるから, 各辺は正である。
1
log t
p, q, ", sが正のとき
く
ゆえに,各辺の逆数をとって
t+1
t-1
2(t-1)
t-1
<logt<
0<4く
各辺にt-1(>0) を掛けて
t+1
f(t)=ニ
t-1
f(t)=VF--logt
-logt とすると
t>1のとき
1
F()=
2/t
1_t+1-2/E_(VE-1)
2t/t
1
2tVt
2tt
f(t) は単調増加。
t
f(1)=0 であるから, t>1のとき
t-1
f(t)>0 すなわち logt<
VE
2(t-1)
g(t)=logt-
4
9(t)=logt-2+
とすると
t+1
三
t+1
t+1
t>1のとき
4_ (t+1)-4t _t?-2t+1
キ=(),6
t
1
g(t)
Ag(t) は単調増
ニ
t(t+1)?
9(1)=0 であるから, t>1のとき
2(t-1)
g(t)>0 すなわち
よって,2, ③により, 不等式④が成り立つから、 与えられた不等式は成り立
<logt
t+1