Question

blue

127(1)の解答の左下らへんの四角で囲ってあるところ、接線の方程式の求め方(式の立て方)がわかりません。ただ単に代入してなぜ求めれるのか教えてほしいです

2
x
127 双曲線 ー =1 (a>0, b>0) 上の点Pにおける接線が, 2つの漸近線と
a?
交わる点をQ,Rとし,原点を0とする。次のことを,媒介変数表示を利用し
て証明せよ。
い
(2) A0QR の面積は一定
(1) Pは線分QR の中点

方, 2点 P, F間の距離は
acos0
1+ sin 0
よって,線分QR の中点の x座標と y座標は
bcos0
PF=V(?-2)?+(2-パ-2
すると
X2=
Y2=ー
1+ sin0
080
=V2t4-8t3 + 16t?-16t+8
=V2(?-2t+2)
=V2|?-2t+2|
よって,曲線C上の点Pについて,点F(2, 2)
からの距離と直線 y=-xからの距離は等しい。
したがって,Cは,点(2, 2)を焦点とし,直線
y=ーxを準線とする放物線の一部である。
X」+x2
1
acos0
acos0
三
2
2(1-sin 0
1+sin 0
ニ
acos0
a
三
1-sin?0
cos0
yi+ y2
1
bcos0
bcos0
2
2(1-sin 0
1+ sin0
bsin 0 cos0
=btan 0
1- sin'0
126 長方形の頂点のうち,
第1象限にあるものを
したがって, Pは線分 QR の中点である。
(2) △0QR の面積は
P
P(3cos0, 4sin 0 )
0<0<)とおく。
ース
2
0
3
x
1
acos0
bcos0
長方形の面積をSとす
2|1-sin0
1+sin 0
ると
acos0
bcos0
S=2-3cos0 ×2·4sin0
S)
1+ sin0
2abcos?0
1-sin0
=24-2sin 0 cos0 =24sin 20
図)
1
=|ab|= ab
三
すなわち0=のとき最
2
1-sin?0
よって,Sは20=
2
よって,△OQR の面積は一定である。
大値 24 をとる。
3
このとき,Pの座標は
2/2)であるから,
128 点Qの座標は
(2cos0, 2sin 0)
P
2辺の長さは3v2,4/2 である。
よって
0
OQ=(2cos0, 2sin0)
また,x軸の正の向き
から半直線 QPまでの
0
a
127 (1) Pの座標を
btan0)とする。
cos0
2
O
A
Pにおける接線の方程式は
回転角を0'とすると
* X
coso
(btan0)y =1
0'=0-。
2 るす
ーCos
PQ= AQ=20であるから
,2
a
62
_ytan0
=1
X
すなわち
acos0
6
QP=(20cos0', 20sin0')
また,2つの漸近線の方程式は
-(20co(0-号)、205im (0-号)
20sin(0
x
y
=D0
b
の,+方
y
-=0
a
=(20sin 0, -20cos0)
a
0と2の交点 Qの座標を(x,, yi)とすると
OP=0Q+QP であるから, Pの座標を(x, y)
3coe a
x=2cos0 +20sin0=2(cos0+0sin0)
y=2sin0 -20cos0 =2(sin0-0cos0)
また,QがAに一致するとき, 0=2xであるか
ら,Pが描く曲線の媒介変数表示は
x=2(cos0 +0sin0), y=2(sin0-0cos0)
リ=0
b
X」
itan0
X」
とすると
acos0
b
a
1
X」
1
を消去すると
tan0)=1
b
cos0
a
1-sin 0
=1
すなわち
X」
a
cos0
bcos0
1-sin0 0
同様に,①とのの交点Rの座標を (X2, y2) と
ゆえに
acos0
(0<Oハ2x)
X」=
「1-sin 0Y1=
参考 切り口が円である棒に糸を巻き, その一端
を引っ張りながらほどいていくとき, Pの描く
曲線を円のインボリュート (伸開線) という。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

いいんちょ

啓林館の数3の教科書では、
このように公式のみが記載されているので
証明はおそらく大学の範囲なのかもしれません。

blue

なるほど、ありがとうございます！

いいんちょ

数3難しいですよね笑一緒に頑張りましょう！

blue

計算量が一気に増えますよね💦
微積のグラフとか大変です…
ありがとうございます！
理系同士、頑張りましょう！！