Question

ひかり

この問題で［1］〜［3］の共通部分を求めないのは何故ですか。

(2) mを定数とする。0<x<2 の範囲で常に x°-4mx+4m+8>0 が成り
立つような定数mの値の範囲を,次のように求めた。
関数 f(x)=x°-4mx+4m+8 について, f(x) の 0Sx<2 における
最小値は、
m<ウのとき
エ m+オ
A
ウSm< カ のとき キクm?+ ケ m+ コ
2
カくm のとき )
(1) と同様に考えると, 0Sx<2 の範囲で常に x-4mx+4m+8>0 が
サシm+[スセ
成り立つような定数 mの値の範囲は
ソタ<m<チ

(2) f(x) =(x-2m)?-4m?+4m+8
よって, y=f(x)のグラ
フは下に凸の放物線で,
軸は直線x=2m である。
y
ゆえに,右の図より,
0Sx<2における f(x)
の最小値は次のように
なる。
[1] 2m<0すなわち m< 0のとき
最小値は f(0)=*4m+*8
[2] 0<2m<2すなわち0<m<"1のとき
最小値は f(2m) = *ク_4m?+ケ4m+"8
[3] 2<2m すなわち1<mのとき
最小値は f(2) ==サシ_4m+
0Sx<2の範囲で常にf(x) >0が成り立つため
の必要十分条件は, 関数 f(x) の0ハ×^2にお
ける最小値が正になることである。
[1] m<0のとき
f(0) = 4m+8 であるから
2m
2m
O| 2m |2
X
スセ12
4m+8>0
よって
m>-2
m<0であるから
[2] 0<m<1のとき
-2<m<0
f(2m) = -4m?+4m+8であるから
(8+8=4m?+ 4m+8>0
すなわち
m?-m-2<0
これを解くと
0<m<1であるから
[3] 1<m のとき
f(2) = -4m+12 であるから
(-1<m<2
0SmS1
-4m+12>0
よって
m<3
1<m であるから
[1]~[3] より
1<m<3
ソタニ2<m<*3 S