Question

ほく

(2)です。答えを解くためにk・nCkの式から始まるのが理解できません。初見でこの式出てくる自信がないです。
どなたか解説(もしくはもっといい解き方)お願いします🙇‍♀️

3(1) (1+x)"(1+x)"=(1+x) *" の展開式を利用して, 等式
»Co?+»C;?+…+»C%?=2nCnが成り立つことを証明せよ。
(2) n22のとき, 等式»Ci+2,C2+3,C。+…+n»Cn=n·2n-1 が成り立つことを証
明せよ。
1 5
(3) (2x--) を展開したとき, すべての項の係数の和は 口である。(3) 近畿大]
x

数学I-21
大同大
開式の一
Tb"
EX
©3
① (1+x)"(1+x)"=(1+x)" の展開式を利用して, 等式 C品+,C?+ +.C=nC。 が成り
立つことを証明せよ。
② n22のとき, 等式 Ci+2,C2+3,Ca+ +n.C,=n·2"-1 が成り立つことを証明せよ。
1章
EX
(3) (2x--)を展開したとき, すべての項の係数の和は口である。
((3) 近畿大)
わ+b')
(1) (1+x)"(1+x)"=,Co(nCo+Cix+ +Cnx")
+,Cix(nCo+»Cix+ +»Cnx")
そ(1+x)"
=,Co+,Cix+…
+,Cnx"(nCo+Cix+ +Cnx")
ゆえに,(1+x)"(1+x)" の展開式において, x" の項の係数は,
CニCnーとにより
Co*nCnt»Ci Cn-1+ +»C&*nCnーk+…+»Cn*»Co
="Co?+»C;°+ +,Cx?+ +»C%?
一方,(1+x)の展開式において, x" の項の係数は 2n Cn
そ展開式の一般役項は
2nC,x"
したがって
»Co+»C.?+… +,C,?=D2n Cn
n!
ミ5
=n
=nn-1Ck-1
(2) k,Ck=k
また
そ(a+b)"-! の展開式で
pS3
=n-1Co+n-1Ci+n=1C2+……+n-1Cn-1
a=b=1とおく。
よって, これらのことから
Ci+2,C2+3,C3+… +n,Cn
=n(n-1Co+n-1Ci+n-1C2+ +カ-1Cn-1)
p21
る
そ,Ci=nn-1C。など。
=n-27-1
そ(1)の場合の数の考え
による解答は,本冊 p.18
3で扱っている。
(2) を場合の数の考えを利用して解く。
検討」
「n人の中から委員を選び(委員は1人以上n人以下とする),
委員の中から1人の委員長を選ぶ」場合の数を, 次の
[方法1), 【方法 2] の2通りで求める。
【方法1) まず, n人の中から1人の委員長を選ぶ。その方法は
そのおのおのについて, 残りのn-1人には委員になる, ならないの2通りがある
から, 求める場合の数は
【方法 2] 委員が1人のとき, 委員の選び方は,C. 通り。そのおのおのについて, 委
員長の選び方は1通り。
委員が2人のとき, 委員の選び方は,Ca 通り。そのおのおのについて, 委員長の
E選び方は2通り。
よ。
n通り。
ミ分大]
n×2"-1通り
委員がn人のとき, 委員の選び方は,Cn 通り。そのおのおのについて,委員長の
選び方はn通り。
よって, 求める場合の数は
【方法1] と [方法2] から
C」×1+,C2×2+………++CnXn
C」+2,Ca+3,C3+……+n,Cn=n·2"-1
うに、
た。
(3) 展開式の一般項は sC.(2x)*(--) =.C,-25-"(-1)"x°-2r←r=0, 1, 2, ………,5で
が成り立つ。
あり,各rの値に対して
x
こき。
展開式の一般項にx=1を代入するとC,·25-"。 (-1)”となり、
C.
焼かり、