コーシー・シュワルツ不等式より，
{√p×√(pa)+√q×√(qb)}²≦{(√p)²+(√q)²}[{√(pa)}²+{√(qb)}²]
⇔(p√a+q√b)²≦(p+q)(pa+qb).
p+q=1 より，
⇔(p√a+q√b)²≦pa+qb.
両辺は 0 以上であるから，両辺の正の平方根をとって
p√a+q√b≦√(pa+qb). （証明終）
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