Question

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⑴の問題の解答
｢接点のx座標は、②の重解であるから｣の所の文章と式の意味を教えてください。

199 次の円の接線の方程式と, その接点の座標を求めよ。
*(1) 円 x°+y?+2x+4y-4=0 の接線で, 傾きが2のもの
(2) 円 x*+y°-6x+8=0 の接線で, 原点を通るもの

199 (1) 求める接線の方程式を
y=2x+k
① とおく。
のを円の方程式に代入して
x?+(2x+k)?+2x+4(2x+k)-4=0
整理すると
5x°+2(2k+5)x+k?+4k-4=0
この×の2次方程式の判別式をDとすると
2
D
=(2k+5)°-5(k?+4k-4)=-k?+45
4

50
4STEP数学II
直線 の が円に接するから, D=0が成り立つ。
ー?+45=0
よって
ゆえに
k=±3V5
[1] k=3\5 のとき
y=2x+3/5
接点のx座標は, ② の重解であるから
-5-6/5
5
接線の方程式は
2k+5
X=ー
5
三
接点のy座標は, ③ から
-5-6/5
-10+3 5
ソ=2.
+3V5 =
5
5
よって,接点の座標は
-5-6/5-10+3V5
5
5
[2] k=-3V5 のとき
接線の方程式は
y=2x-3V5
4
接点のx座標は, ② の重解であるから
2k+5
-5+6/5
Xニー
ニ
5
5
接点の y座標は, ④ から
-5+6/5
-10-3/5
5
ソ=2.
-3/5 =
5
よって, 接点の座標は
-5+6V5
-10-35
5
5

数ⅱ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

おじさん

円の式に傾き2の直線①を代入した式が②で、「解が共有点のx座標を表す二次方程式」です。
よってこの方程式が重解をもつとき、①は接線となり、重解が接点のx座標です。

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ありがとうございます！