✨ ベストアンサー ✨
問題の意味が少しわかりにくいだけで、それさえ分かったらそんなに難しい問題ではないです。
例えば、Aが(1,2,3)という集合でBが(2,4,6)という集合ならば、AかつBは2ですよね。これは、AにもBにも2という共通の数があるという意味です。同様に、「集合AとBの共通部分A∩Bの要素がa(2)とa(5)である」というのは、a(2)と全く同じ数字がBの要素a(1)²からa(5)²のいずれかの中にあるということです。a(5)に関しても同じように、a(5)と同じ数字が(1)²からa(5)²のいずれかの中にあるということですね。
a(2)は自然数なので、必ずa(2)<a(2)²ですよね。一方a(1)<a(2)よりa(1)²<a(2)²<a(3)²<a(4)²<a(5)²でもあります。つまり、a(2)=a(?)²が成立するには(?)に1が入るしかないですよね。
これにより1つめの式
a(2)=a(1)²
が作れました。
また、a(2)+a(5)=20という条件もあわせると、a(2)は写真のように限られてきて、a(5)はBと共通する要素であるから、自然数a(1)~a(5)のいずれかの2乗なので、a(5)=11はありえず、a(1),a(2)が求まります。
ここからは写真のように解けば解けます。
最後が難しいですが2枚目の写真のように考えれば、a(3)(a(3)+1)は166/2=83より小さいことがわかるのでa(3)の範囲は5,6,7,8に限られます。
したがってa(3)(a(3)+1)の最小値は5×6=30、最大値は8×9=72であり、a(4)(a(4)+1)は84~126になるので、a(4)の範囲は9,10,11に限られてきます。
よって
a(3)(a(3)+1)=30,42,56,72
a(4)(a(4)+1)=90,110,122
の中から足して166になるペアを見つけると56+110なのでa(3)=7, a(4)=10と求まります。
本当に助かりました！とても丁寧にありがとうございます😭
2枚目の写真をつけ忘れてました。