Question

みき

青チャート（数A）の練習16(3)の問題について解き方を教えて下さい😭
一枚目:問題、二枚目:解説

練習 右の図の A, B, C, D, E各領域を色分けしたい。 隣り合っ
16た領域には異なる色を用いて塗り分けるとき, 塗り分け方は
それぞれ何通りか。
(1) 4色以内で塗り分ける。 (2) 3色で塗り分ける。
(3) 4色すべてを用いて塗り分ける。
A
B
C
D
E
【類広島修道大) (p.322 EX13

D→A→B-→C→E|←A, B, C, Eの15
K=4!×!
n=
A
(2) 3色で塗り分ける。
(1) 4色以内で塗り分ける。
(3) 4色すべてを用いて塗り分ける。
C
[類広島修道大)
D
(1) D→A→B→C→E
の順に塗る。
D→A→Bの塗り方は
P3=24(通り)
この塗り方に対し, C, Eの
塗り方は2通りずつある。
よって,塗り分け方は全部で
24×2×2=96(通り)
(2) D→A→B→C→E
の順に塗る。
D→A→Bの塗り方は
この塗り方に対し, C, E の塗り方は1通りずつある。
よって,塗り分け方は全部で
(3) (1)の結果から, 4色以内の塗り分け方は
領域と隣り合うD。
塗り始める。
(1) 4 × 3 × 2 × 2 × 2
そ「4色以内」とあるか。
4色すべてを使わない。
塗り分けることも考え
(月番)IS
(2) 3 × 2 ×1×1×
C
そ与えられた領域を
で塗り分けることはでき
ない。
O。
ン
P3=6(通り)
2
6×1×1=6(通り)
H
96 通り
また, 4色の中から3色を選ぶ方法は,使わない1色を決める<4色をa, b, c, dとす
情合!
と考えて
るとき,(1)では
[1] a, b, c, dをすべて
使って塗る場合
[2] a, b, c, dから
3色を選んで塗る場齢
を考えている。
よって,(1)の結果から
[2]の場合を除くことに
なるが,4色から3色を
4通り
ゆえに,4色すべてを用いて塗り分ける方法は, (2) の結果から
96-4×6=72 (通り)
別解 [同じ色を塗る領域に着目した解法]
5つの領域のうち, 同じ色を塗るのは2か所で
あり AとE, Bと C, CとE の3通り
AとEが同じ色で, その他は色が異なる場合,
塗り分け方の数は, AE, B, C, Dを異なる
4色で塗り分ける方法の数に等しいから
A
B
C DE
選ぶ方法も考えなければ
E
ならないことに注意。
A
B
C
D
4!=24(通り)
BとC, CとEに同じ色を塗る場合もそれぞ
A
B
れ
C
D
E
24通り
よって,求める塗り分け方の総数は
24×3=72 (通り)
E 2…BとDの色を除く… 1-
…AとDの色を除く… 1|
2…AとDの色を除く…
A 3…Dの色を除く

青チャート 数a 順列 高1 塗り分けの問題 練習16 (3)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

き

(4色全てを使う塗り方の総数)
=(4色以内での塗り方の総数)-(3色での塗り方の総数)
という関係を使っています。
注：2色以下では塗り分けはできないので考えなくて良いです。
3色での塗り方は(2)をそのままかと思いきや少し状況は違っていて、(3)は4色使える状態で3色で塗り分けることになるので、4色のうちどの3色を使うかという選択の余地が残されています。よって(3)での3色の塗り方は　4C3×((2)の答え)=24通り　になります。
結局(1)の答えと合わせて96-24=72通りとなります。

別解
自分は最初、以下のように考えたので紹介しておきます。
ここでDだけは全ての面に接していて少し特殊だということを意識しておいてください。
まずAから塗っていきます。Aは4色どれでも使えるので4通り。
次に隣接しているB，C，Dを塗るのですが、もしBとCがそれぞれ別の色だとDは塗れるのは1色のみなので1通り(Aに接しているため)。BとCが同じ色ならDは2通りとなって状況が変わるので場合分けをします。
(i)BとCが別々の色のとき
Bは3通り、Cは2通り、Dは1通りとなり、すでにここまでで4色使ったので残すEは隣接するB，D以外の色の2通り。Aも合わせて4×3×2×1×2=48通り
(ii)BとCが同じ色のとき
Bは3通り、Dは2通り､ここまでで3色しか使ってないのでEは最後の4色目の1通り。Aも合わせて4×3×2×1=24通り
(i)，(ii)は互いに排反なので48+24=72通り

少し長くなりましたが、もし疑問等あれば気軽に質問してください。

みき

なるほど！！ありがとうございました🥳