覚えておいてほしいこととして、整数が絡む問題は積の形を作るのがポイントです。これは、高校入試でも役に立ちますが、大学入試でも役立つ知識です。
そして、足し算や引き算の形の式を掛け算にすることを因数分解と言いましたよね。つまり、因数分解の形に持っていくことができれば嬉しいわけです。
全部解いてしまうのはあんまりよくないと思うのでヒントを出しますね。
kを整数としたときに、問題文の言っている意味を考えて、式に起こしたら
√(120+a²)=k
となりますよね。
これを2乗したら
120+a²=k²
になりますね。
ここから因数分解された形に持っていくこと、できますか？
わからなければコメントしてください。
そういうことです！
それで、積の形がなんで嬉しいかということを書いておくと、今kもaも整数(もっと言えば自然数)ですよね。つまり、整数と整数をかけて120だと言っているんです。そういう整数の組み合わせってそんなにないですよね。つまり、可能性を絞り込めたということになるんです。
とはいえ、かけて120になるペアなんて、けっこうありますよね。
実際に書くと
(k+a, k-a)=(1,120)(2,60)(3,40)(4,30)(5,24)(6,20)(8,15)(10,12)(12,10)(15,8)(20,6)(24,5)(30,4)(40,3)(60,2)(120,1)の16通りですね。
極論、k+a=1,k-a=120の連立方程式を解いて、k+a=2,k-a=60の連立方程式を解いて...を16回やって、当てはまるものを書けばよいのですが、さすがに本番だとそれは無理だから工夫してやらないといけないんです。
ここで、120とかじゃなくて約数が少ない数だったら、ここまでたどり着いた子に点数が与えられるから、まだ易しい問題なんですけどね...。ここまでたどり着くだけでも相当難しいと思うのに、世の中厳しいですねw
入りきらないし、眠たいから明日ここからの続き送りますね。ちょっとここからどうやってやるか考えてみてください。
すみません、16通りそれぞれ負の場合(-1,-120)...があるから、32通りですね。まあ、ちょっと考えたら負の場合はありえないってわかるんですけど、この段階では32通りあるということにしておきます。
ありがとうございます!!おやすみなさい!!
考えて見ます!!
このたくさんある状態から色んな絞り込み方をすることで数個に絞られるというのが割と個人的には好きで、初めて見たときにはすげぇってなりましたね。「高校数学の参考書といえば」みたいな定番の参考書にチャート式というのがあって、実はこのチャートの数学I+A(1年生内容)にもほぼ同じ問題が載っています。(120じゃなくて144だった)
だから、もうこんなの高校レベルなんですよねw
これを公立が出してきたということにびっくりですね。実際には、捨てた子がほとんどで、解けた子もおそらく「a=1から順番に入れていったらa=1のとき121=11²でa=7のとき169=13²でa=13のとき289=17²で...。もう思い付かんけどあと1個くらいあるやろ、よし4って書いとけ」
みたいな人がほとんどで、こんな風に綺麗に解けた子なんてほんと一握りだったんじゃないかなと思います。
めっちゃわかりやすいです!!ありがとうございます!!
偶奇の一致ってすごいですね!!(語彙力とんでいきました。)数学は根性論じゃないことを再確認出来ました笑
(k＋a)(k－a)=120でいいですか?