基本 例題53 剰余の定理利用による余りの問題 (1)
(1) 整式 P(x) をx-1 で割ると余りは5, x-2で割ると余りは7となる。この
とき,P(x) をx-3x+2 で割った余りを求めよ。
(2) 整式 P(x)をxー1で割ると4x-3余り, x2-4 で割ると 3x+5余る。この
とき, P(x)をx+3x+2 で割った余りを求めよ。
[近畿大)
【類慶応大)
割った
基本 52
重要55
指針> P(x) が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはいかな
い。このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。
特に,余りRの次数が割る式Bの次数より低いことが重要なポイント!
2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから,R=ax+b とおける。
条件から,このa, bの値を決定しようと考える。それには,割り算の等式A=BQ-
で,B=0 となるxの値(これを●とする)を考えて, P(●)の値を利用する。
基本等式 A=BQ+R
1 R の次数に注意 2 B=0を考える
CHART 割り算の問題
解答
(1) P(x) をx-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき
の商をQ(x), 余りを ax+bとすると,次の等式が成り立つ。
(2次式で割った余りは,
1次式または定数。
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b.
P(1)=5
P(2)=7
AB=(x-1)(x-2)
剰余の定理。また, ⑦の
両辺にx=1を代入する
P(1)=a+b
条件から
ゆえに
a+b=5
ゆえに
2a+6=7
2
と
0, 2を連立して解くと
よって,求める余りは
(2) P(x) をx°+3x+2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったとき
の商をQ(x), 余りを ax+bとすると,次の等式が成り立つ。
a=2, b=3
2x+3
42次式で割った余りは,
1次式または定数。
の (B=(x+1) (x+2)
a, bの値を決定するため
には,P(-1), P(12) が必
要。そこで,O,②にそれ
ぞれx=-1, x=-2を代
入する。一(x)円
P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b
また, P(x)をx-1, x°-4すなわち (x+1)(x-1),
(x+2)(x-2)で割ったときの商をそれぞれQ(x), Qa(x) と
P(x)= (x+1)(x-1)Q(x)+4x-3.
P(x)=(x+2)(x一2)Q:(x)+3x+5
P(-1)=-7
P(-2)=-1
すると
のから
これとのから-a+b=-7
これとのから -2a+b=-1
a=-6, b=-13
のから
3, 0を連立して解くと
求める余りは
-6.c-13
練習 (1) 整式 P(x) をx+2で割った余りが3, x-3で割った余りが -1のとき, P(x)
をパーx-6 で割った余りを求めよ。
(2) 整式 P(x) をx+5x+4 で割ると2x+4余り, x+x-2 で割ると-x+2系
るという。このとき
53
の
【立教大)
D と
