Question

IK

なぜ(2)はこれが言えるのですか？

最大公約数と最小公倍数の性質
41| 次の各問いに答えよ。
最大公約数が15で和が120 である2つの自然数を求めよ。
最小公倍数が252 で和が210である2つの自然数を求めよ。
く約数- 9,系かe数-しm。
0 27の自無数を acb lacb)とる。 a-Brazur家健的
a=15a, b-15E
(ocb)-(3.5), (1,7)
あい le.6)-(5.05), (4,75)
15a't156=20 atb'-8
2。
12) 270自数を 0,6 le<b)とみ acbragar要。
atb=210, L:252
&-ga'; b=g6 glorr8)-210
a6g-l -252
eの最水伝 ーイ fins" 20と252 物=9
2120200A500-20

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

sin

a+b=210,l=252はそれぞれ条件よりわかると思います

a=ga',b=gb'は
最大公約数は共通する素因数の(次数の低い方の)積・・(＊)
なので、最大公約数をgとして上の様に表せます
また、a',b'がそれぞれ互いに素なことに関しては
(＊)より、最大公約数を用いているので
それ以上共通な素因数が無い=それ以上共通の約数を持たない=a',b'は互いに素
となります

g(a'+b')=210はa=ga',b=gb'でa+b=210なので、
a+b=210
ga'+gb'=210 gでくくって
g(a'+b')=210 -①
です

また、最小公倍数は互いの素因数の次数が高い方の積なので、a,bを素因数分解してまずgの分だけ素因数を選ぶ(最大公約数を求める)とそれぞれa',b'分だけ素因数が残ります
なので、次数が高い方に揃えるためにgに残ったa',b'を掛けると最小公倍数が求まります

よってa'b'g=l=252 -②で最小公倍数に等しくなります

ここで、互いに素な二数の和と積も互いに素という性質があるので
a'+b'とa'b'も互いに素になります
よって①,②において共通の約数は(1と)gのみなので、最大公約数はgになります