Question

juii

至急お願いします🙇‍♂️
(3)が分かりません。
教えて頂きたいです🙏🙏

Practice 47 ★★★★★
n
1
数列 (an}は, a=;, an=2(
k?
(n=1, 2, 3, ……)を満たしている。
2'
k=1
(1) a2, a3, a4 を求めよ。
(2) an+1 を an とnで表せ。
(3) 一般項 an を推定し, それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
[08 愛媛大)

数学的帰納法

Answer 1

きらうる

(1)からa2＝2/3，a3＝3/4，a4＝4/5　なので、

自然数nに対し，
an＝n/(n＋1)…①　と推定できる

(i)n＝1のとき
①にn＝1を代入して成立

(ii)n＝m(mは自然数)のとき①が成り立つ，すなわち，
am＝m/(m＋1)…②
であると仮定すると，

a[m＋1]
　＝∑[k＝1→m+1]a[k]/k²
　＝∑[k＝1→m]a[k]/k²＋a[m+1]/(m+1)²
　＝am＋a[m+1]/(m+1)²
　＝m/(m+1)＋a[m+1]/(m+1)²

(m+1)²を両辺にかけて
a[m+1]×(m＋1)²＝m(m+1)＋a[m+1]
→　a[m+1]×(m²+2m)＝m(m＋1)
→　a[m+1]＝(m+1)/(m+2)

よって，n＝m+1のときも①が成り立つ．

juii

なぜan=n/n＋1になるのか分かりません…

きらうる

(1)で
a2＝2/3，a3＝3/4，a4＝4/5
と求められましたよね。

これから、anはn/(n+1)と推定できるのですが、どうでしょうか。