Question

Runa

一方④より〜が成り立つから
というところの下からが意味分かりません。

が成り立つことを数学的帰納法で証明する。
(i) n=2 のとき
2
a,=a;=1, ニ=1
れ
であるから,が成り立つ。
(i)n=k(k2 2) のとき, ③が成り立つと仮定すると
(15)st0
このとき
2
2
-ak+1 =
k+1
k+1
2
2
ーaル+
k+1
%D
1
2
=(a-1)?-
2'k+1
一方,のより
2
ak-1S
-150
(aュ-1)"2(-1)-
4-1= 0
が成り立つから
-1)?
2
2
2
k+1
2
k+1
1/4
2(?
1
+1
2
k
2
k+1
2
2
2
k+1
2
> 0
ニ

数列 {a,}は,a」=2 であり
an+1=3-
を満たしている。
a2を求めよ。また, nが2以上の自然数のとき, an+1 を an を用いて表せ。
(2) nが2以上の自然数のとき, an
ニが成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
n

数学的帰納法

Answer 1

ムッシュ熊夫

⑤のしきと、④より〜ってやつの2つに注目しましょう。
④より〜で変形した不等式を見てみると、
(ak-1)²≧(2/k-1)²ですよね
これを意識しながら⑤を変形するんです。

⑤は
(ak-1)²/2-1/2+2/k+1ですよね。
ここで、④のやつより、
(ak-1)²が(2/k-1)²になる式を考えると
(2/k-1)²/2-1/2+2/k+1となり、
④のやつより、
(ak-1)²/2-1/2+2/k+1≧(2/k-1)²/2-1/2+2/k+1となります。
あとはそのkの式を答えのように綺麗に計算してあげましょう。