Question

ナツキ

118（1）で　［1］［2］どちらも必ず使わないといけないですか？

え方 背理法を利用して証明する。 まず, bキ0 と仮定する。
16
を証明せよ。
a+by3 =0=→ a=b=0
C
S=-
a
答 6キ0 と仮定すると
6
は有理数であるから,この等式はV3 が無理数であることに矛盾する。
と良
b=0
a
よって
a+0./3 =0 から
したがって,命題は真である。
6=0 のとき
a=0
終
117 背理法を利用して,次のことを証明せよ。
(1) aが正の無理数ならば, Va は無理数である。
(2) V6 が無理数ならば, V3-V2 は無理数である。
*118 (1) nは整数とする。次の命題を証明せよ。
n?が3の倍数ならば, nは3の倍数である。
RS
→教 p.63 研究
(2) 背理法を利用して, V3 が無理数であることを証明せよ。
19 a, bは有理数とする。 /6 が無理数であることを用いて, 次の命題を証明
せよ。
2a+/36=0→a=b=0
(1) (3+2/3)カー(2-/3)q+1-4/3 =0
V3-1
=1
V3
18ト(2)(1)の結用も利田する。
2a+/66=0

は V2 が無理数であることに矛盾する。 (2)V3 が無理数でないと仮定すると,V3は有理
2-V2 は無理数でないと仮定すると
って, 対偶は真であり, もとの食題も
ならば 20+3b s
ら
2aS0
2a+36<0が成り立つ。
120 (1) 等式を整理する
る。
b<0から
(3p-2q+1)+(2p+
「1] n=3k+1のとき
3p-2q+1, 2p+q-4
であるから
3p-2q+1=0, 2
n=(3k+1)?=9k?+6k+1
= 3(3k?+ 2k) +1
n=3k+2 のとき
n?=(3k+2)?=9k?+12k+4
これを解いて
p=1
2-V2 は無理数でないと仮定するい
(2) 等式の両辺に3(V
V3p+(3 -1)q
=3(3k?+4k+1)+1
は有理数である。
=rとすると
数ならば2-rも有理数であるから。、
3k?+2k, 3k?+4k+1 はともに整数であるから,
[11, [2] のいずれの場合もn?は3の倍数になら
整理して
2 =2-r
-9-3, p+q+1 は
るから
ない。
-9-3
よって,対偶は真である。
したがって,もとの命題は真である。
これを解いて
補足 a, bは有理数と
a+b、3 =0=
p=
2-V2 は無理数である。
は無理数でないと仮定すると, S
っる。
とすると 2/2 =r
数であるから,1以外に正の公約数をもたない2
つの自然数 m, nを用いて
m
V3 =
n
と表すことができる。
このとき
両辺を2乗すると
よって, m?は3の倍数である。
(1) により, m'が3の倍数ならば, mも3の倍
数である。
mは, ある自然数 kを用いて mn=3k と表される
から, ① に代入して
V3n=m
3n=m?
数ならばっも有理数であるから,こ
2が無理数であることに矛盾する。
V8 は無理数である。
a は無理数でないと仮定すると、
である。
すると a=r?
数ならばがも有理数であるから,
無理数であることに矛盾する。
aは無理数である。
3n2=9k?
すなわち
n?=3k?
よって, n?は3の倍数となり, (1) により, nも
3の倍数となる。
これは, mとnが1以外に正の公約数をもたな
いことに矛盾する。 す
したがって, V3は無理数である。
119 6キ0 と仮定する。
は有理数である。
=rとすると
(J-、2P=r
5-25=r
V2a+V3b=0 の両辺に V2 を掛けて
2a+V66=0
V66=-2a
すなわち
bキ0であるから
2a
V6 =
b
でが無

命題 命題と証明