Question

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2つの二次関数の大小関係について
・1枚目の画像の(2)において、なぜF(x)の最小値が出てくるのか
・1枚目の(2)の放物線と2枚目の画像の②の上に凸と下に凸はどこで判断しているのか
が理解出来ないのでどなたか教えていただきたいです( ᵕ̩̩ㅅᵕ̩̩ )

|2つの2次関数f(x)=x°+2ax+25, g(x)=-x°+4ax-25 がある。次の条件が
|成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。
演習 例題
演習 例題129 2つの2次関数の大小関係(1)
201
OO
すべての実数xに対して f(x)>g(x) が成り立つ。
)ある実数xに対してf(x)<g(x) が成り立つ。
((1) 広島修道大)
p.198 基本事項 2, 基本113
針> y=f(x), y=g(x) それぞれのグラフを考えるのでは
なく,F(x)=f(x)-g(x) とし, f(x), g(x) の条件
をF(x)の条件におき換えて考える (b.198 参照)。
(1) すべての実数xに対して F(x) >0
(2) ある実数xに対して F(x)<0
となるaの値の範囲を求める。
(2f(2)-2cx1<0
ソ=F(x)
y=F(x)
x
x
解答
5c2)79cs
F(x)=2x°-2ax+50 プィス) 92)20
F(x)=f(x)-g(x)とすると
検討
1.「あるxについて●が成
a?
)>o 2| り立つ」とは,●を満たすx
a
+50
が少なくとも1つある,とい
うことである。
2.2次方程式 F(x)=0 の判
別式をDとすると,
2
(1) すべての実数xに対してf(x)>g(x) が成り立つことは,
すべての実数 x に対して F(x)>0, すなわち
[F(x)の最小値]>0が成り立つことと同じである。
=(-a-2-50=α-100
F(x) はx
:=%で最小値 -+50 をとるから
a°
2
(1) [F(x)の最小値]>0
の代わりに D<0
α°
+50>0
2
(p.171 基本事項6利用。
常に F(x)>0=→D<0)
(2) [F(x)の最小値]<0
よって
(a+10)(a-10)<0
-10<a<10
(2) ある実数xに対してf(x)<g(x)が成り立つことは,
ゆえに
の代わりに D>0
(p.161 基本事項2利用。
y=F(x) のグラフの頂点
がx軸より下にある。)
によって解くこともできる。
ある実数xに対して F(x)<0, すなわち[F(x) の最小値]<0
が成り立つことと同じである。
Iよって
a?
+50<0
2
ゆえに
(a+10)(a-10)>0
a<-10, 10<a
よって
章 2次関数の関連発展問題

解説
ソ=f(x)
<2つの放物線の共有点>
2つの放物線 y=f(x), y=g(x) の共有点の座標は,それぞれの
等式を満たすから, 連立方程式y=f(x), y=g(x)の実数解で与
えられる。
共有点
共有点)
<2つの2次関数の大小関係>
どの場合もグラフで考えるが,①, ② では F(x)=f(x)-g(x)
とし,f(x), g(x) の条件を F(x) の条件におき換えて考える。
|y=g(x)
の
/y=g(x)
y=f(x)
y=F(x)
fes
fes
y=F(x)
X
マイナス yー)
y=g(x)/
x=x(あるx)
x=x(ある)
3, ④では, x1, X2は互いに関係ないから,
F(x)=f(x)-g(x) として考えることができ
ない。そこで,2つの2次関数f(x), g(x)
の最大値·最小値に着目する。
(3
の
4)
y=g(x),,)
最小
y=g(x)、
最大
y=f(x)
最大
ソ=f(x)
, 9(t.))最小
区間
区間

２次関数とグラフ