数学
高校生
解決済み
(1)で、マーカーを引いた部分がどうしてこうなるかわかりません
教えてください🙇
235 n は自然数とする。数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。
(1) 1+5+9+ + (4n-3)=n(2n-1)
(2) 1-3+2-5+3-7+ +n(2n+1)=-n(n+1)(4n+5)
235 (1) この等式を(A) とする。 「
[1] n=1のとき
左辺=1,
右辺=1·(2-1-1)=1
の
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=kのとき (A) が成り立つ,すなわち
1+5+9+·
+(4k-3)=Dk(2k-1)
が成り立つと仮定すると, [n=k+1のときの
……
(A)の左辺は
1+5+9+……+(4k-3)+{4(k+1)-3}
=k(2k-1)+(4k+1)=2k?+3た+1
4)
ニ
(n=k+1のときの (A)の右辺は
+
(k+1)(2(k+1)-1}=(k+1(2k+1)
よって, n=k+1のときも(A) が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数 nについて(A) が
成り立つ。
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