Question

よし

2次関数のグラフと不等式の問題に詰まってます…
この例題が、右下の記載のようにx軸と交わらないと判断する理由、つまりD＜0に至る経緯がわかりません。共有点が2つや1つになる可能性はどこでなくなっているのでしょうか…

くいます。例題でよお~く催認し、理解してくださいね !
例題:すべての実数xについて、-2x? + ax-1<0 が成り立つような定数
、 すぐに
aの範囲を求めてみますね。
く解法>
- 2x + ax -1<0
2x? - ax+1> 0
両辺に(-)をかけ、 最高次数の係数>0
「不等号の向きが逆転しているか?」 チェック!
範囲で因数分
215)>0
よって、2x° -ax+1=0の判別式をDとすると、D<O
、レ-fac(D)
<a(答)
通常、このように説明もなくほとんどの解答
は、2x° - ax + 1=0において判別式をDとし、
「(2次不等式)>0 よって、 D<0」
それゆえ、多くの人が混乱しています。しか
し、(i)のグラフより、 下に凸のグラフがx軸
と交わらないためには、(左辺30) となるxが
存在してはダメ! よって、「解なし!」 したが
;って、 「D<0」という流れになるわけなんです
ね! わかっていただけたでしょうか!?
a?-8<0
23) =0
(a+2、2Xa-2、2)<0
. -22<a<2v2 (答)
23)<0
; (答)

二次関数のグラフと不等式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

めびうす

まず問題文にある｢全ての実数xについて｣によって、どんな値がxになっても｢-2x^2＋ax-1<0｣を満たすという意味と分かります。どんな値でも満たすということは(この場合)｢二次関数<0｣の範囲にグラフが全て含まれているということになります。(グラフはx,yの取りうる値を結んだもの)
また、｢-2x^2＋ax-1｣で、x^2の係数が｢-2｣と｢負｣なので、グラフの形は上に凸(下に開いている形)となります。
｢二次関数<0｣より、二次関数のグラフはグラフの頂点(MAX)が｢MAX<0｣と限定されます。そうなるとグラフ全体が軸に触れない(判別式D<0)になります。
これは問題文の下にあるように｢-1｣をかけた状態でも同様で、｢2x^2-ax+1>0｣の場合では｢x^2｣の係数が｢2｣と正なので、下に凸(上に開いた形)になり、｢二次関数>0｣よりグラフの頂点(min)が｢min>0｣と制限されるためグラフ全体が軸から浮く(D<0)となります。
つまり、 グラフの形が、｢<0｣｢>0｣などの範囲内に収まることでxが全ての実数でも満たすということになります。軸と交わったり接したりすると、｢<0｣｢>0｣などの範囲からはみ出てしまうことになり、xのどんな値でも満たすという条件に合わなくなってしまうので、｢判別式D<0｣ということになります。
PS. 長く、拙い説明ですが参考までに、、、

よし

ご丁寧にありがとうございます！とても理解が深まりました！問題文の係数と不等号からグラフをイメージすることとグラフと判別式を合わせればいいんですね！
2日ほど詰まってたので大変助かりました…