とりあえずxの3次方程式(x-t)²(x+2t-3)=0を解くと、x=t,-2t+3になります。
ところで、接線と3次曲線が接点以外に交点を持たないということは、連立させた方程式の解はx=tだけになるはずです。(もしx=t以外の解を持ったら、接点以外に交点を持つということになってしまいます。)
ここで、さっき解いた3次方程式の解は、x=t,-2t+3でした。しかし上記の理由から、この方程式の解はx=tだけじゃないといけません。ということは-2t+3=tでなければならないということです。この式をtについて解くと、t=1という値が出てきます。
なので、丸で囲ってるところが解を持たないという考えは少し違うと思います。xの1次方程式x+2t-3=0が解なしになることって無いですし。正しくは、丸で囲ってるところの解もx=tになる、ということだと思います。
