Question

魚見さん

赤線・緑線に関して、このようになる理由と
青線に設定する意義を教えてほしいです。

設問(1),(2),(4)では,文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また,設問
(3)に答えなさい。
関数y=f(z)は原点z=0 を含むある開区間を定義域とし,そこで微分可能かつf(z)>0 とする。また
k=f(0)とおく.この関数のグラフ上の点P(x, f(x)) における法線とェ軸との交点をQ(a(z), 0), 点P
からェ軸におろした垂線とェ軸との交点をR(z, 0)とする。
(1) 関数a(z)とf(z)の間にはa(x)= の関係がある。
(2) APQR の面積が一定値mとなるような関数f(x) で, 定義域でつねに f'(z)>0を満たすものを&と
m を用いて表すとf(z)=[いである。
(3) a(z)=az+β (ただしα, βは定数)となるとき,関数y=f(x)のグラフは2次曲線の一部分である
ことを示しなさい。
(4)(3)における2次曲線がェ軸上に2つの焦点をもつ楕円となるための条件は ]である。また,そ
の楕円の2つの焦点のェ座標をa, B, kを用いて表すと ] ]である。
(08 慶応大 医)

(4)(1-a)r?-28x+y?=k?
これが楕円になるとき1-a>0 であり、
(1-a)(-ード
82
*+y?=k?+-
1-α
2
k>0 だから,1-a>0の
1
82
->0である。
1-a
ときん?+-
k(1-a)+8?
とおく
B
-=1
1-a
1-a
と,これはェ軸方向の径が
g?
2(V)
1-α.
1
1
1, y軸方向の径が
1-a
a

もつ楕円(横長の楕円)になる条件は
Yl で中心がェ軸上にある楕円だから, z軸上に焦点を
1
I>1→<aく1
1-a
である。そのとき楕円
B
B )2
1-a
g?
1
k(1-a)+8?
R(1-a)+8?
(1-a)?
1-a
の2焦点のェ座標は
R(1-a)+8?_k°(1-a)+8?
B
-土
1-a
(1-a)?
1-a
B
Va{k°(1-a)+B°}
1-a
1-a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

x^2の係数とy^2の係数が等しいときは円の方程式になります。その係数で両辺を割ってあげれば
(x−a)^2＋(y−b)^2＝r^2の円の一般系の形になりますので。
次に楕円の一般形は
(x−α)^2/a^2 ＋(y−β)^2/b^2 ＝1
ここで両辺a^2b^2をかけると
b^2(x−α)^2＋a^2(y−β)^2＝a^2b^2
これで問題文の方程式の形になりました。
b^2は絶対正だからこれは楕円の方程式を表しているのです。よって,1−α>0となるとき　それは楕円の方程式となっているということになります。

また,横長の楕円になるための条件はa>b>0でしたので
√ℓ/(1−α)>√ℓ
つまり1/(1−α)>1となればよい。

最後にℓ＝〜とおいているのは楕円の一般形の形で表すために右辺の数で両辺を割るのですがその式がやや複雑な形をしているので一旦文字で置いてあるだけです。
何度もℓの式を書くのは時間がかかりますし大変なので一文字で置いておくことで負担を減らしています。

ぽっきー

双曲線になるための条件を述べるのを忘れていましたがこれはご自身で考えてみて下さい。