Question

まや

整数の性質の問題で、⑵の青いマーカーを引いた部分がなぜその数がでてきたのかわからないです。
どうやっているのか教えていただきたいです(>_<)

次の方程式の整数解をすべて求めよ。
3
(1) 3x-5y=1
2) 67x-31y =2

(2) 67x-31y=2
①をみたす整数解を1つ見つけるために, 67 と 31
にユークリッドの互除法を適用する。
要点7-9
要点7-10
67 = 31·2+5
すなわち 5=67-31· 2
2)
セー
すなわち 1= 31-5·6
31 =5.6+1
3)
よって, ②を③に代入して
-310

1=31-(67-31·2)· 6
1=31·13-67.6
以上より、 67·(-6)-31·(-13)=D1となるので, 両
辺を2倍して
67(-12)-31· (-26) =D2
よって、x=-12, y=-26 は①の整数解の1つで
(FO-0 4
67(x+12)-31(y+26)3D0
すなわち
67(x+12)=31(+26)
9
ここで, 67 と31 は互いに素であるので, >要点 7-6
x+12 は31 の倍数であり、 kを整数として
x+12=D31k
と表される。これを⑤に代入して
67-31k= 31(y+26)
y+26 = 67k
したがって、 求める整数解は
x=31k-12, y=67k-26 (kは整数)答