Question

ノーマン

球面の方程式 青チャート
波線部分が分かりません。先取りしている高一です。基礎で抜けているところがあるかもしれません。詳しく解説よろしくお願いします

ロI
座標空間の図形
74 球面の方程式(1)
例題
497
件を満たす球面の方程式を求めよ。
点(5, 1,
4)を通り,3つの座標平面に接する。
p.493 基本事項 3
連準形 (x-a)+(y-6)+(2c)=
一般形 °+y、+。+Ax+By+Cz+D=0
中心と半径が見える形。
2章
また、x>0, y>0, z>0である点を通ることから,中心の座標は半径rを用いて表すこ
10
とができる。
へ~
一の球面の中心 C は直径 AB の中点であるから
2+8
4-2
d,, )すなわち C(-2, 5, 1)
1-5
2
また。球面の半径をrとすると
ア=AC=(-2-1)。+(5-2)?+(1-4)?=27
よって(x+2)°+(y-5)°+(z-1)°=27
面が各座標平面に接し, かつ点 (5, 1, 4) を通ることか
ら,半径をrとすると,中心の座標は (r, r, r) と表される。にある点を通ることから,
のえに,球面の方程式は
半径は r=3/3
I 標準形 で表す。
(x>0,.y>0, z>0の部分
中心もx>0, _y>0, z>0
の部分にある。
自6, 1, 4) を通るから
よって -10r+21=0
(5-r)+(1-r)+(4-r)=?
(rー3)(rー7)=0
ゆえに
したがって
ア=3, 7
よって(xー3)"+(yー3)°+(z-3)°=9 または
(x-7)+(y-7)"+(z-7)'=49
答えは2通り。
直径の両端が与えられた球面の方程式
2), B(x2, V2, る2) を直径の両端とする球面の方程式は
V1,
点A(x),
(xーx)(x-x)+(yーy)(yーya)+(zース,) (z-2)=0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

3つの座標平面を添付画像で表します
すると
平面によって座標空間が8つの空間に分かれます

球面はこの8つの空間のうち1つに存在します

なので球面上の点一つの座標がわかれば
球面全体の場所も8つの空間のうちどこかわかります

この問題の場合は
球面が点(5,1,4)を通るので
球面はx>0 , y>0 , z>0 の空間にあるとわかります

さらに
3つの座標平面は互いに直交しており、
その3面に接する円の中心座標は
3面全てから半径の長さrだけ離れています

なので中心座標を(r,r,r)と置けます

もし仮に問題文が
「球面が点(4,-2,6)を通る」だったら
中心座標は(r,-r,r)と設定しなくてはなりません

(3,6,-9)だったら(r,r,-r)
(-5,-1,-4)だったら(-r,-r,-r)となります

ノーマン

感動しました!!この問題の本質を全く理解出来ていませんでした。本当にありがとうございます✨フォローさせていただきます