Question

Hr

(2)の赤線を引いたところが分かりません！
イコール0では無い理由も解説お願いします🙇🏻‍♀️

B3
式と証明·高次方程式(20 点)
か,qは実数の定数とする。3次方程式 x+x?+ax-4=0 は異なる3つの実数解1,
a, Bをもつ。
(1) qをかを用いて表せ。
(2)pのとり得る値の範囲を求めよ。
B2
(3) kは定数とする。α'+β°=kを満たすかの値がただ1つ存在するとき,kの値を求めよ。
また,そのときのかの値を求めよ。

配点(1) 4点(2) 8点 (3)
8点
解答
se
0e
1+p+q-4= 0
より
AL.8
9=ーp+3
圏 q=ーp+3
完答への
道のり
④ かとqの関係式を導くことができた。
③ gをかを用いて表すことができた。
P() =x'+r"+qx-4 とおく。 (1)より に-P+3を代れしく
P(x) =x°+x-(カー3)x-4
万程式 P(x) = 0 はx=1を解にもつから, P(x) は x-1 を因数にもち,
P(x) をx-1で割ると次のようになる。
(方程式 P(x) =0 は x=.
にもつ→整式 P(x) はx-
数にもつ-mied
4組立除法を用いると,次の
A口
+(カ+1)x+4
x-1)
十x°-(カ-3)x-4
ーx?
なる。
o
p -+3
1 p+1
(b+1)xー(カ+1)x
4x-4
1 p+1
=DA EAA 九部
4x-4
4
したがって P(x) 3 (x-1){x+(カ++1)xナ4} の茶 こ 分
P(x) = 0 とすると
(x-1){x°+(p+1)x+4} = 0
条十
であるから
x=1
または
x+(カ+1)x+4=0
よって, 方程式 P(x) = 0 が異なる3つの実数解1, α, βをもつとき, α,
Bは、 1以外の異なる2つの実数であり, 2次方程式①の解である。
38 -

ここで,2次方程式①の判別式をDとすると
D=(p+1)?-4.1·4
= (p+5)(カ-3)
12次方程式 ax+bx+c=0 …(*)
Pt2pー15
の判別式をDとすると
と こま
2次方程式(*)が異なる2つの実
数解をもつ一→D>0
(ただし,D=6°-4ac である)
D>0 より
(p+5)(p-3) > 0
pく-5, 3<p
さらに, 2次方程式①は, x=1 を解にもたないから
エキ(カ+1)+4(キ0
すなわち pキー6
2, 3より,pのとり得る値の範囲は
pく-6, -6 <かく-5, 3<p
ちケ味こざ
x=1 は2次方程式①の解でない
ことを見落とさないようにする。
3)
スー1は出ている。
Cs。 さい茶園
会 a
の
圏 pく-6, -6<か<-5, 3<p
完答への
道のり
A P(x) がx-1を因数にもつことに気づくことができた。
B P(x) を因数分解することができた。
© P(x) = 0 の解の条件を, 2次方程式①の解の条件に置き換えることができた。
D2次方程式①の解の条件から,かについての不等式を立てることができた。
B2次方程式①がx=1 を解にもたないための条件を求めることができた。
日pのとり得る値の範囲を求めることができた。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ふぃる

三次方程式の解が1,α,βの異なる3つと言われていて、
(x－1){x²＋(p＋1)x＋4}＝0の{x²＋(p＋1)x＋4}＝0…☆で、x＝α,βとならなければいけないので☆の解にx＝1は取れません。すなわち、☆にx＝1を代入しても成り立たない事を式にすれば、「1²＋(p＋1)×1＋4≠0を満たせば良い」
という事になります。

Hr

なるほど！ありがとうございます😊