Question

Minions

赤の式はどのようにしたらこのようになるのか分かりません。
よろしくお願いします🙏🙏🙏

例 正の数からなる数列{an}が, すべての自然数nに対してan+1三→aのを満たし
ているとき, 数列 {a,} は0に収束することを示してみよう.
a。を繰り返し用いると,
2
an+1ミ
1
-an-1S
2
11
n-1
1
an-2=
1
-an-3S
22
2_22
2
a1.
これと an>0 より,
n-1
0< anS
2
a1.
n-1
ここで,liml
a,=0であるので, はさみうちの原理より,
n→o|2
liman=0.
otu

数学 数学iii 無限 はさみうちのげんり

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

漸化不等式と自分は呼んでいます。
a_n＋1≦a_n/2なので
a_n≦a_n−1/2として上から評価することができます。
a_n/2≦a_n−1/4
a_n−1も同様に上からa_n−2/2で抑えられるのでこれを繰り返し用いるわけです。

Minions

ご解答いただきありがとうございます😊
どうしてa_n≦a_n−1/2が出てくるのですか？

ぽっきー

番号nをn−1にすり替えたのです。
a_n＋1≦a_n/2よりnをn−1にすり替える(任意の番号 nで成り立つ不等式だからn−1でも成立している)

Minions

ありがとうございます😊
よく分かりました‼︎
あともう一つよろしいですか？
青線で囲ったところは、今教えていただき、理解したのですが、緑線の部分が分かりません。
番号nに何を代入していっているのか、
またなぜ1/2がどんどんかけられているのか分かりません😵‍💫

ぽっきー

a_n＋1≦a_n/2でさらにa_n≦a_n−1/2だからa_n/2のa_nにまた不等式を利用しているんです。だから上の文で繰り返し用いて〜って書いてあるのです。

Minions

ありがとうございます😊