Question

にぃの

志望校の過去問なんですがこの問題の求め方が分かりません。
余弦定理などを使うことは何となくわかるのですが、
他がさっぱりです。
どなたか回答お願いいたします🙇‍♀️

3 図のようなAB=9. AD=6. AE=3の直方体ABCD-EFGHがある。 次の各問いに答えよ
D
.C
A
H
G
B
3
0.
E
F
(1) ZAFC= 0とするとき, cos 0 の値を求めよ。
(2) 三角形ACFの面積を求めよ。
(3) 三角錐ABCFの体積を求めよ。
(4) 点Bから三角形ACFに下ろした垂線の長さを求めよ。

余弦定理 空間図形

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

AB = 9 , BC = 6 , BF = 3

三平方の定理より
AF = √(9²+3²) = √90 = 3√10
AC = √(9²+6²) = √117 = 3√13
FC = √(6²+3²) = √45 = 3√5

(1)
△ACFについて余弦定理より
cosθ
= {(3√10)²+(3√5)²-(3√13)²}/(2･3√10･3√5)
= {90 + 45 - 117}/(18･5√2)
= 18/(18･5√2)
= 1/(5√2)

sinθ
= √(1-cos²θ)
= √{1 - 1/(5√2)²}
= √(49/50)
= 7/(5√2)

(2)
△ACFの面積をSとする
S
= 1/2･AF･FC sinθ
= 1/2･3√10･3√5･7/(5√2)
= 1/2･45√2･7/(5√2)
= 1/2･9･7
= 63/2

(3)
三角錐ABCFの体積をVとする
V
= 1/6･AB･BC･BF
= 1/6･9･6･3
= 27

(4)
求める垂線の長さをLとする
L
= 6･V/S
= 6･27/(63/2)
= 6･27･2/63
= 36/7

えだまめ🫛

1/(5√2) = √2/10 ですね　有理化してください

にぃの

回答ありがとうございます✨

丁寧な回答でとても分かりやすかったです！

にぃの

遅くの返信で申し訳ないのですが、(3)と(4)を求めた
公式を教えていただけないでしょうか？

お願いします🙇‍♀️

えだまめ🫛

三角錐の体積の求め方
底面積×高さ÷3

(3)
底面積　AB×BC÷2
高さ　　BF
体積　　V = 1/6･AB･BC･BF

(4)
今度は△ACFを底面積Sと考えて

V = S × L÷3
⇔ L = V÷S×3

最後は×3でした。すみません。