Question

ねこ

（4）の解き方を教えていただきたいです

2077
(4 2xy-4x-y-2=0を満たす整数x,yの組(x, y) をすべて求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

整数問題の方針の1つに積を作りにいくというのがありますね。だから、整式を積の形にする=因数分解を行います。
最低次数の文字について整理するため、とりあえず一旦xについて整理すると
x(2y-4)-y-2=0
2x(y-2)-y-2=0
一見するとy-2でもくくれそうですが良く見るとくくれませんね。くくるためには
2x(y-2)-y+2 =2x(y-2)-(y-2)
でないといけません。
それでもやはり無理矢理積の形を作りたいので、
2x(y-2)-y-2=0を
2x(y-2)-y+2-4=0
2x(y-2)-(y-2)=4
としてやります。
すると
(2x-1)(y-2) =4
となります。
xとyは整数なので(2x-1)と(y-2)も整数です。さらに、xが整数の場合、2x-1は奇数でないとおかしいですね。したがって、整数どうしの積が4になるもののうち、ダメなものを除けば
1,4
2,2 →✕
4,1 →✕
-1,-4
-2,-2 →✕
-4,-1 →✕
となります。
したがって
(2x-1, y-2)=(1,4)(-1,-4)
(x,y)=(1,6)(0,-2)が答えです。

ねこ

わかりやすかったです！ありがとうございます！