Question

。

【数学III】
一枚目が問題で、2枚目が自分の回答なのですが、不正解になるでしょうか。
また、不正解の場合理由をお願いします🙇‍♂️

a) = S(a) =0 であることを示せ。 F
整式f(x)を(x-a)°で割ったときの商を g(x), 余りを px+qとおくと
(22 整式x+ax" + (a+b)x+1が(x-1)°で割り切れるように定数a, b
/2次以上の整式S(x) が(x-a) で割り切れるための必要十分条件は
[ 145
上の整式了(x) が(x-a)。で割り切れるための必要十分条件は
の値を定めよ。
) 条件の言い換え
未知のものを文字でおく
割り切れる-→(余り)= 0
4
2次式
1次以下の式
章
f(x) = (x-a)°g(x) +px+q
0となるaの値を考える
条件にf'(a)があるから,微分してみる
p= 0, q=0 となる
条件を考える。
f(x) =
0となるaの値を考える
Action》整式を(x-a)"で割るときは, 微分を利用せよ
園 (1) f(x) を2次式(x-a)°で割った商を g(x), 余りを
px+qとおくと D
f(x) = (x-a)°g(x) + px+q
両辺をxで微分すると
f(x) = 2(x-a)·g(x) + (x-a)g'(x)+カ …2
…0
の, 2 の両辺に x=a を代入すると
f(a) = pa +q,f(a) =D p
q= f(a) -af'(a)
Sca)、ゴa)、aの
引にする
{(x-a°g(x)}
= {(x-a}Yg(x)
+(x-a°g(x)
よって
f'(a)x+f(a)-af' (a)
ゆえに,余りは
整式S(x) が(x-a)° で割り切れるための条件は,すべ
f'(a)(x-a)+f(a)
と整理できる。
てのxについて
f(a)x+ f(a)-af'(a) = 0
が成り立つことである。よって
f(a) = 0 …③ かつ f(a)-af" (a) = 0 …④
③をのに代入すると
したがって,必要十分条件は
割り切れるときは
px+q= 0
がxについての恒等式で
あるから
カ= 0,q=0
f(a) = 0
f(a) = f'(a) = 0
者のフロセス

(1) ga)、余りを- Pスを全とす3.
5(2)= 12-0)gは) +pxx&.
exi(rs
S(x)=12-a)-9は)+pxt8.
文ーム)で割割りて切れるとき、
すa)= 0 3、
ap t8 -0 …の.
す(ス):2x-a)gは2+g(a)1x-as+P
- は-A)2ga)+g'ea)(x-a)+ p.③
のリ合リ 0であるから
2:0.
このとき、②は、st0)- p.
sta)-0-
すって、510)-5(a)= 0

因数定理と微分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

BA1000　数検準1級取得者

①より余りは0となるから①の式だけでp＝0，q＝0としてしまうと間違いになります。
画像を参考にしてみて下さい。
分からない場合は質問して下さい。

。

回答ありがとうございます。
一つだけ質問させてください！！
問題文に「〜の必要十分条件は…」とあったら、f'(a)＝0を前提として解いて良いのでしょうか。

BA1000　数検準1級取得者

例えばAであるための必要十分条件は
BでありCであることを示せとなったら
仮定Aの性質からBかつCが成立ってから初めて必要十分条件となる。この場合
f(a)＝０，f’(a)＝０を前提として解いてはならない。仮定f(ⅹ)は(ⅹーa)²で割り切れる
いうことから結論を導かなけばならない。割り切れるいうことはpx＋q＝0が成立する
余りが0になる場合
xについての恒等式が成り立つから
p＝q＝0が成り立つ。
これをf(a)，f’(a)に代入すると両方とも0
であるから必要十分条件であることを示さなければならない。

BA1000　数検準1級取得者

画像を参考にしてみて下さい。

。

理解できました！！
ご丁寧にありがとうございました🙇‍♂️