Question

かがわ

何故（2）の左辺の係数が1/6になるんですか??

nは自然数とする。数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。
(1) 1+5+9+…+ (4n-3)=n(2n-1)
(2) 1·3+2·5+3·7+……+n(2n+1)=ーn(n+1)(4n+5)

[2] 2=kのとき (A) が成り立つ,すなわち
1.3+2-5+3-7+ +(2k+1)
般(長十1(4k+5)
A
が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの
(A)の左辺は
1-3+2-5+3-7+…
=ー(k+1(4k+5)+(k+1X2k+3)
1
=+1)(4k+5) +6(2k+3)}
6
=&+1(4k?+17k+18)
6
1
-(k+1)(k+2X4k+9)
6
n=k+1のときの (A) の右辺は
1
(k+1){(k+1)+1}{4(k+1)+5}
6
(k+1)(k+2X4k+9)
よって, n=k+1のときも (A)が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて(A) が
成り立つ。