Question

にく

どうして増減表で
a前後のf(x)、f‘(x)のプラスマイナスが
決められるのですか？

109
623*/すべての実数 x に対して, 不等式 x*-4a°x+6a°+9>0が成り立つように, 定数 aの値の範
囲を定めよ。

f(x) =x*-4a°x+6a°+9とすると
f'(x) =4x°-4a
623
=4(x-a(x°+ax+Q')
f'(x) =0 とすると
または x?+ax+a'=0
20
3
+-20で
X=a
ここで,x?+ax+α'=
(*+"+200
2
4
あり,等号は a=0のときに成り立つ。
[1] a=0 のとき
f(x) =x*+9>0であるから, 条件を満たす。

[2] aキ0のとき
x+ax+a?>0であるから,f(x) の増減表は
次のようになる。
X
a
る
00
f'(x)
0
f(x)
極小|
ゆえに,f(x) は x=aで最小となる。
よって,すべての実数 x に対して, f(x) 20
が成り立つための必要十分条件は
f(a)=a*-4a*+6a°+9>0
整理して
a4-2a°-3<0
2
すなわち
a'+1>0であるから
a?-3<0
-V3saい<3
[1], [2] から, 求める aの値の範囲は
-V3saハ<3
よって
(ただしaキ0)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

green

f'x＝4（x−a）（x2＋ax＋a^2）であるので、全体を、（）2つの部分として見ます。a≠0の時、（x^2＋ax＋a^2）>0であるので、（x−a）の符号によってf'xの符号が決まります。
このとき、y＝x−aとしてグラフを書くとx<aではy<0、a<xではy>0ですよね。よってf'xもそのように符号変化します。