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k≠lのとき(k-l)²＞0
k=lのとき(k-l)²=0
ですので、k≠lという条件でD＞0が成り立ちます。
k=lならばkl=k²≧0なので、kl＜0ならばk≠lとなり、D＞0が成り立ちます。
もちろんkl＜0という条件でなくてもD＞0は成り立ちますが、少なくともk≠lであることは必要です。
まず確認しておきましょう。
ここで大事なのは、
「kl＜0ならばD＞0となる」かどうかですね。
つまり、「kl＜0という条件の中にD＞0という条件が含まれているから、kl＜0があればD＞0は必要ない」ということです。
「kl＜0ならばD＞0か」について考えるにあたっては、kl＜0のときだけ考えればいいので、kl≧0のときは考える必要はありません。kl＜0でないときはどうでもよく、kl＜0のときD＞0となることさえわかれば、kl＜0という条件の中にD＞0が含まているからD＞0が必要なくなることがわかります。
以上が、「(α+1)(β+1)＜0という条件があればD＞0が必要なくなる」ことの理由です。
いったん区切ります。
次に、「kl＞0という条件の中にD＞0は含まれるか」についてです。つまり、「kl＞0ならば必ずD＞0となるかどうか」ですね。
もちろんkl＞0のときD＞0となることはありますが、D＞0とならないこともあります。したがって、kl＞0のとき必ずD＞0となるとは言えないので、kl＞0がD＞0という条件を含むとは言えません。したがって、kl＞0の他にD＞0という条件を加えなければいけません。
ありがとうございます、理解できてきました。🙇♀️
回答ありがとうございます！
二次方程式x^2-2mx+m+2=0において、
「1つの解が1より大きく、他の解が1より小さいときの定数mの値の範囲を求める」問題で、
求めるための条件としては(α-1)(β-1)<0だけで良く、D>0は必要ないとの事で、なぜ必要ないのか調べてみたところ、kl<0(α-1=k, β-1=l)だからD>0になるとあったのですが、
kl<0であることと、D>0であることは特に関係ないのでは？と思って質問させて頂きました。
そして今度は、kl>0でも、D>0は成り立つ(klの符号に関わらずD>0になる)ので、「2解ともに1より大きい」場合は、(α-1)(β-1)>の条件だけが必要で、D>0という条件は必要ないのでは？と思い、混乱してきました。
分かりにくい長文で大変申し訳ないのですが、回答頂けたら有難いです。🙇♀️