Question

ゆー

この問題の(1)ってan=3と仮定して矛盾を見つける方法だと出来ないのでしょうか？
できるならやり方も教えて欲しいです！

578
1
重要 例題127
飲列列(an} がe,
An t
An
分数形の漸化式 (1)
OOOO0
a=1, an+1=
看要 例題
an-9
で定められる数列 {an} がある。
1) すべての自然数 nに対して anキ3であることを示せ。
an-5
b,=
1
(2) bn=
とおくとき,bn+1 を bnで表せ。 また, 一般項anを求めよ。
an-3
計>分数形の
(1) bnt
数列 (an
指針
分数形の漸化式である。おき換えにより, 等差数列の問題に帰着する。
(1) 背理法 による。ある自然数 nについて an+1=3 であると仮定し,矛盾を導く。
(2) an を bnで表して条件の式に代入してもよいが,ここではます an+1-3 を計算し。
の逆数をとるとらく。
ar
(2) まで
解答
(1) ある自然数nについてan+1=3 とすると,条件式から
解答
a
an-9=3(an-5)
=すなわち
参考
x-9
ゆえに
an+1=an=an-1= …=ai=3
) bn+1=
a
よって
x-5
x2-6x+9=0 を解くと
x=3(重解)
an=3
これは条件 a」=1に反する。
()ゆえに,an+1=3を満たす自然数nはない。
よって,b,=
また
aキ3
a,-3
とおき
換えている。詳しくはp.580
したがって,すべての自然数nに対して anキ3である。
したがっ
参照。
(2) an+1-3=
an-9
2(an-3)
2) b=
-3から
an-5
an+1-3=-
an-9
-3
an-5
(1)より anキ3であるから, 両辺の逆数をとると
an-5
ゆえに、
よっ
an-9-3(an-5)
るから
1
an-5
an-5
an+1-3
an
-3
よって
よって
1
1
an+1-3
an-5
an-3
る 還 (,631
an-3
(an-3)-2
したた
an-3
ゆえに
1
bn+1= 6n
2
2
辺を
また
an-3
あー-3-ー
検討
6,=
2
ぐケ [日 18)
新化
よって,数列(bn}は初項
公差-
2
の等差数列で
2
bn+1-bn=-
(公差)
特性
から
1
2
ニー
n
2
152
asしたがって
b,=b+(n-1)d
4.=3+-=3-2
1
bn
で
n
甘 d [9お)
noS1.881 合
練習
127
L 3
an-4
で定められる数列 {an} の一般項 anを, bn=
a=1, an+1
an-3
のおき換
Cn-2
S 3
12 1_2
II

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲスト_

an=3を与式に代入してan+1も3であることを示します。
あとは解答と同じながれです。

a1も3と言えるためa1=1に反するためan=3は不適
というような回答になると思います

ゆー

できるんですね！
ありがとうございます！