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n=6k、6k+1、6k+2、6k+3、6k+4、6k+5
工夫なしで地道に行けば6つの場合分けが必要になります。
余りによる正式の分類で素数以外の倍数を示せと言われた場合、因数分解した与式にn(n+1)〔連続した2つの整数の積〕があれば2の倍数であることは証明できていて、n(n+1)(n+2)〔連続した3つの整数の積〕があれば3ないし6の倍数であることを示せています。
例えば、9の倍数を示す問題で与式を因数分解して、n(n+1)(n+2)をつくれれば「すべての整数nは3k、3k+1、3k+2(kは整数)のいずれかの形で表される。」とできます。
つまり、因数分解の工夫によって手間が省けるわけです。
また、因数分解をして因数の一つを指定された倍数であると示し、因数の一つが〜の倍数であるから式全体も〜の倍数であると言う方法もあります。
しかし、前述した通りn(n+1)(n+2)をつくるととても楽なので、別の方法で試してみます。
n³+6n²+5n=n(n²+6n+5)
=n(n+1)(n+5)=n(n+1){(n+2)+3}
=n(n+1)(n+2)+3n(n+1)
n(n+1)(n+2)は連続した3つの整数の積であるから6の倍数である。
また、n(n+1)は連続した2つの整数の積であるから2の倍数である。
よって、3n(n+1)は6の倍数である。
したがって、n³+6n²+5nは6の倍数である。
全ての整数は6で割って割り切れる数、1余る数、2余る数、3余る数、4余る数、5余る数に分類できます。
与式が6の倍数であることを示すときに、このそれぞれの場合をkを用いて文字式にしてnに代入して、全ての場合で6の倍数であることを証明します。
なぜ6k、6k+1…、6k+5に分類するのかというのは、それぞれの場合で代入した時に6でくくれるようにするためです。
解く手順としてまずは、因数分解で2の倍数、3の倍数、6の倍数であることを示せるかを試します。
その後、全ての整数を分類して場合分けをします(これを剰余類による倍数の証明という)。
そのため、6の倍数→6k、6k+1、…6k+5とおかなければいけないということはないですが、力技でやれば6つの場合分けが必要になるということです。
5の倍数であることを示す時はnを5k、5k+1、…5k+4とおくことが多いです。
しかし、こういった問題は工夫して簡単にすることができます。
長文で分かりづらいかもしれませんが、一応例題を記しておきます。
Q、n⁹-n³が9の倍数であることを示せ。
n⁹-n³=n³(n⁶-1)
=n³(n³+1)(n³-1)=n³{(n+1)(n²-n+1)}{(n-1)(n²+n+1)}
=(n-1)n(n+1)･n²(n²+n+1)(n²-n+1)
(n-1)n(n+1)は連続する3つの整数の積であるから3の倍数である。
【"3m･n²(n²+n+1)(n²-n+1)"という形なので、n²(n²+n+1)(n²-n+1)が3の倍数であれば与式は9の倍数になりますね。n²(n²+n+1)(n²-n+1)の1つの因数が3の倍数であれば全体も3の倍数になるので、因数のいずれかに代入していきます。それぞれの場合について別々の因数に代入するのが一般的です】
全ての整数nは3k、3k+1、3k+2(kは整数)のいずれかの形で表される。
n²(n²+n+1)(n²-n+1)について
(i)n=3kのとき
n²=(3k)²=3(3k²)
(ii)n=3k+1のとき
n²+n+1=(3k+1)²+(3k+1)+1=9k²+9k+3=3(3k²+3k+1)
(iii)n=3k+2のとき
n²-n+1=(3k+2)²-(3k+2)+1=9k²+9k+3=3(3k²+3k+1)
以上から、n²、n²+n+1、n²-n+1のいずれかが3の倍数になる。
よって、n⁹-n⁶は9の倍数である。
ありがとうございます。
詳しく教えて下さりありがとうございます。なぜ、6つの場合分けが必要なのですか？