基本 例題18 割り算と恒等式
OOO0
xの整式x°+ax°+3x+5 を整式xーx+2 で割ると, 商が bx+1, 余りがRで
あった。このとき, 定数 a, bの値とRを求めよ。ただし, Rはxの整式または
定数であるとする。
基本9,15
指針> 割り算の基本等式 A=BQ+R が恒等式であることを利用する。
割る式B=x°-x+2 がxの2次式であるから,余りRは1次以下か0
したがって,R=cx+dとおくことができる。
恒等式x°+ax°+3x+5=(x?-x+2)(bx+1)+cx+d において, 両辺はxの3次式で, 未
定係数は a, b, C, dの4個であるから, 右辺をxについて整理して, 係数比較法を用いる。
また,別解のように, 直接割り算を実行してもよい。
こるす 開
CHART 割り算の問題 A=BQ+Rが恒等式
解答
(R の次数)<(Bの次数)
つまり, Rは1次式または
2次式x°-x+2 で割ったときの余り RをR=cx+dとおく
と,条件から,次の等式が成り立つ。
x°+ax?+3x+5=(x°-x+2)(bx+1)+cx+d
この等式はxについての恒等式である。
右辺をxについて整理すると
x°+ax?+3x+5=D6x°+(-6+1)x°+(26+c-1)x+2+d
定数である。
cキ0 なら 1次式
c=0 なら 定数
となる。
0(0.)..0 0)
係数比較法。
両辺の同じ次数の項の係数は等しいから
1=6, a=-b+1, 3=26+c-1, 5=2+d
金 (1:0)-)
1O.0
この連立方程式を解いて
a=0, b=1, c=2, d=3
a=0, b=1, R=2x+3
したがって
別解 x+ax°+3x+5 をxーx+2 で割ったときの
商と余りは,右の計算により
商x+a+1,
x+a+1
x-x+2)x°+ax* +3x
+5
xー x° +2.x
=D
+5
余り(a+2)x-2a+3
ゆえに, bx+1=x+a+1がxについての恒等式
b=1, 1=a+1
(a+2)x-2a+3
0 (係数比較法。
であるから
よって
a=0, b=1
R=2x+3
(a+2)x-2a+3にa=0を代入して
確かに3=2b-1が成り立ちませんね(^_^;)
もしRが1次の式でなかったら、c=0になるから、とりあえずcx+dとおこうって感じですかね…？