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そもそもの、判別式D=b²-4ac の由来から話します。
下に凸の放物線 y=ax²+bx+c (a>0) を平方完成すると、頂点の座標が求まるんでした。実際にやってみましょう。
y=a(x+(b/2a))²-(b²/4a)+c = a(x+(b/2a))²-(b²-4ac)/4a
この放物線の頂点のy座標は、-(b²-4ac)/4a
いま a>0 であるから、
b²-4ac>0 のとき、(頂点のy座標)<0
b²-4ac<0 のとき、(頂点のy座標)>0
b²-4ac=0 のとき、(頂点のy座標)=0
となります。この b²-4ac を判別式Dと名付け、
実数解の有無の判定に使っていたわけです。
よって、a>0 のとき、
D>0 ⇔ (頂点のy座標)<0
よって、
頂点のy座標が負であることと、D=b²-4ac<0 であることは同時には起こり得ないのです。
なるほど！詳しい解説ありがとうございます！
また別の見方もできます。
質問文に「必ず実数解が存在するんですか？」とありますのでこっちの方がより「実数解存在❗️」的な議論になると思います。
二次方程式 ax²+bx+c=0 (a>0) を解の公式を用いて解くと、
x=(-b±√b²-4ac)/2a
(ちなみに解の公式は、上のレスで紹介した平方完成の式から導けます)
このxが実数になるか、そうでないかで場合分けです。
b²-4ac≧0 のとき、xは実数となるから、二次方程式は2実数解(重解含む)を持つ
b²-4ac<0 のとき、xは虚数となるから、二次方程式は(実数係数であることも合わせると)互いに共役複素数である異なる2解を持つ、
すなわち、実数解を持たない。
下の凸のグラフを考えて、D<0 のときはグラフとx軸が共有点を持たないわけですから、グラフの頂点のy座標は必ず正となり、本問の設定と矛盾してしまいます。