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応用問題
点(-1, 0) を通る傾き m の直線を1とし, 1が曲線C:y=r°と異な
る2点P, Qで交わっているとする.
とサ母る価の範囲を よ。
(2) 2点P, Qの中点の軌跡を求めよ。
式を求めて、
精講
2点P, Qの中点を M(X, Y)とし, X, Yを mを用いて表すこ
とを考えましょう. m はすべての実数を動くわけではなく. (1)で
行移動した
求められる変域がついてくることに注意してください。
解答
とおくと
C:y=r°
(1) 点(-1, 0)を通る傾きmの直線1の方程式は
リ-0=m{z-(-1)}すなわち
0, 2よりyを消去すると
リ=me+m
2=mx+m, z'ーmz-m=0
Cと1とが異なる2点で交わるための条件は, ③が異なる2つの実数解を
もつことである. ③の判別式をDとすると
D=m°+4m>0<D>0
ます。こ
m(m+4)>0
m<-4, 0<m
(2) 3の異なる2つの実数解をα, Bとすると, P(α, α"). Q(B, B°)
とおける。線分 PQの中点を M(X, Y) とおくと
.α+B
a+8°
Y=
X=
2
2
解と係数の関係系より, α+B=m, aB=-m なので, 素 きこ
X= ……の
2
m
媒介変数表示
(α+B)°-2cB_m°+2m
Y=
それを
2
のより,m=2X. これを⑤に代入して,
(2X)+2(2X)
-=2X°+2X-
(mを消去
Y=-
2
m の変域を
(1)より,m<-4, 0<m なので
2X<-4, 0<2X すなわち X<-2, 0<X<Xに引き継ぐ
以上より,求める軌跡は 放物線の一部 y=2.c°+2.c (x<-2, 0くx)
第3章
PUX.I
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