Question

ぴひょ

数2の円の範囲です。
この問題の(3)で分からないところがふたつあったので教えてください。
・①の式を作ったあとこれが二つの円の交点を通る｢曲線｣だとわかったのは、①に含まれるxやyが2次だからですか？また、曲線ではなく円ではダメなんでしょうか？

・その後、(4,0)を代入するのは事前に求められていたから入れたということでしょうか？点Pを代入したらkが上手く求められませんがこれはなぜダメなんでしょうか？

解説お願いします。

回座標平面において,円 C,:x?+y=4 上の点P(1, V3)における接線
をlとし,eとx軸との交点をQとする。【14点)
(1) 点Qの座標を求めよ。
(2) 点(2, 0)を中心とし,直線lに接する円 C,の方程式を求めよ。
(3) 円 C,と(2) で求めた円 C, の2つの交点と点Qを通る円の方程式を
求めよ。
解答(1)(4, 0)
(2)(x-2)2+ y2=1
(3) 3x?+3y? -16x+16
=0
三
(1) e の方程式は
1x+V3y=4
e
すなわち
x+V3 y=4
Cy
P(1, V3)
2
ここで,y=0 とすると
x=4
よって,点Qの座標は
(2) 円 C2の半径をrとする。
(4, 0)
-2
0
C。
rは円の中心(2, 0)とeの距離に等しいから
|2+V3-0-4|
=1
V?+(V3)
よって,円 C。の方程式は
(xー2)+ =1
(3) 円C, と円 C。は異なる2点で交わる。
kを定数として、方程式
A(x?+ y?-4)+{(x-2)*+ y?-1}=0 ……0
を考えると,①は2つの円 C,, C2の2つの交点を通る曲線を表す。
曲線のが点Q(4, 0) を通るとき
k(4°+0°-4) +(4-2)*+0°-1=0
1
k=
4
よって
これをDに代入して整理すると
3x°+3y?-16x+16=0
これが求める円の方程式である。
(-)+デー
82
16
参考
のを変形すると
+ y?
3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

iam__tom__

素晴らしい質問だと思います。
1つ目の質問について
あくまで個人的な感想ですが、「2つの交点を通る"曲線"」という書かれ方はあまり良くないと思いました。私でしたら
k(x²+y²-4)+｛(x-2)²+y²-1｝=0 (k≠-1)･･･①は
2つの円C₁,C₂の２つの交点を通る曲線を表す。というふうにk≠-1をしっかり書くと思います。(k=-1のときx²,y²が消え一次式になるため曲線ではなくなる。)
ただ求めるのが円の方程式とわかっているので解答としてk≠-1を書いていないのかなとも思いました。

また、円と書くのは悩ましいですが、私は平気なのではないかなと思います。問題に円の方程式を求めよと明記してあるので。ですが①の方程式が円を表すのは限定的であることを考えると大は小を兼ねるという考えで曲線と書くのが無難だと思います。

２つ目の質問について
(3)の問題は点Pは関係なく２つの円の交点と点Qを通る円の方程式を求める問題なので点Pを代入しても求まりません。

的を得た回答でなければまた質問お願いいたします！

ぴひょ

丁寧な回答ありがとうございます！色々な考え方があるのですね……！スッキリしました。ありがとうございます。