Question

チェリーくん

この解き方がダメな理由を教えて欲しいです！お願いしますm(_ _)m

Antz-
as 言.
よてくbns は初頃5公比 2.
2
Qz: 2
an.
2
2」
2-an
の等比数列なって
antz= an
en
An
bn: 5
2
n-2、
2
- An- 2.
2
ant2 = 5-1-
1n.
式を変形ンる
2d:d-2.
an:5:12n
d:-2.
Antz +2 - Cn -1+2.
2
3 an t 1.
ニ
2
aneat2 = 2ant2).
2
An+2= bn とおく
bnt2: 26n
2
62 2+2
2

グリ
524 第8章数
Check
例 題 297
分数型の漸化式(1)
a=
an
2-an
an+1=
(南山大)
で定義される数列 (an) の一般項an を求めよ。
aの逆数
は、漸化式の両辺の逆数をとって考える。
anの逆数一をbn とおくと, 与えられた漸化式は, 例題291
(A.515)のタイプ(an+1=Dpan+q) となる。
an+1=0 と仮定すると,
これをくり返すと,
考え方] これまでに学んだ漸化式の解法が利用できないか考える。ここで
a
a
an
an+1=
an=0
=0
2-an
解答
anー1=an-2=3 =Da=0
より,an=0
となり、a=ーキ0と矛盾するので,
与えられた漸化式の両辺の逆数をとると,
anキ0(n21)
e
11
2-an-
2
an+1
an
an
ここで, bn=-
an
1
とおくと,
bn+1=26,-1, b」=
-=2
a1
α=2α-1 より,
Q=1
bn+1-1=2(bn-1), b.-1=1
したがって、数列{bn-1}は初項1, 公比2の等比数列だから,
bn-1=1·27-1より,
1
bn=2"-1+1
-=2"-1+1 より,
an
よって,
1
an=
2"-1+1
1
an=
2"-1+1
Focus
ran
型の分数の漸化式は逆数で考える
an+1=
かantq
注)例題 297 で anキ0 は, これから学ぶ数学的帰納法(b.554~)を用いた証明もできる。
<aキ0 の数学的帰納法による証明>
n=1 のとき, ai=
n=k のとき, akキ0 と仮定すると, n=k+1 のとき, ak+1=
ar
となり,n=k+1のときも成り立つ。
よって,すべての自然数nに対して, ánキ0 が成り立つ。
2-ak
また,分数型の漸化式は, 例題 297のように逆数を考える方法だけでなく, 例題298
(b.525)のように特性方程式を利用する解き方もある.
習
7
で定義される数列 {ato
an+1-
ai=
2'
an
3an+1
e

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

unknown

左の一行から二行目の変形がちゃう