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(1) y'=6x^2-6x=6x(x-1)からx=0のとき極大値5, x=1のとき極小値4をとります.
係数に注意すれば2(-1)^3-3(-1)^2+5=0となることもすぐ分かります. したがってx軸との交点は(-1, 0)のみ.
(2) 接線はy=(6a^2-6a)(x-a)+(2a^3-3a^2+5)=(6a^2-6a)x-4a^3+3a^2+5です.
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(1)と(2)は(3)を解くためのヒントになっています.
y=|f(x)|はx=-1で折り返すことに注意します[これはグラフに書き込もう].
|f(x)|≧3x+kは曲線y=|f(x)|が直線y=3x+kより上である, もしくは接点を持つと言い換えることができます.
したがって接戦の傾きが3となる場合をまず探ります.
6a^2-6a=3⇔2a^2-2a-1=0のときですが, 折り返しのためにa=(1+√3)/2のみ条件が満たされます[本質的に計画法の問題です].
また接線のy切片は-4a^3+3a^2+5=-(2a^2-2a-1[=0を利用])(2a+1/2)+(-3a+9/2)=(6-3√3)/2と求まります.
グラフからkはこの切片以下であればいいのでk≦(6-3√3)/2であればよいことになります.
よく分かりました。
ありがとうございます。