Question

ほ ん

(2)の増減表の極大、極小がなぜ求まるか分かりません😥

6Rx)=x°-3az?+36xについて, 次の問いに答えよ. (10点)
(1) fx)が極値を持つ条件を a, bで表せ. (答えのみでよい) (3点)
【計算スペース)
x)= 30e 6Qx+£6
s(xe- 2a2+)
a^- &> o
ずて)-0g 式をpとすると,
b>o よ2, 外- ab> 0
(2) f(x)の極大値と極小値の差が4となるための条件を a, bで表せ、 (7点)
れx)= 0 解を d. βldep) とする。
X|
d
M
D
tx|橋大
よって、
は)- (6) 乳水)dr
; S(C-d)(x-A)dx
-td-°.しA-d)
), ) - i{A)、+→ 士18~d)*、 4
9(B-d)°-8
A-d- 2
ここで、d= Q- ,βの a+ J よ, 8-d-21%
よって
8-d= 2 → J9
Q°-6= /

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

これは不等式を利用して判断します.
f'(x)=3x^2-6ax+3b=3(x^2-3ax+b)=3(x-α)(x-β) [α<βと設定した]
x<α[<β]だとx-α<0, x-β<0なのでf'(x)>0
α<x<βだとx-α>0, x-β<0なのでf'(x)<0
x=αで導関数f'(x)の値が正[これは単調増加]から負[これは単調減少]へ転じるので極大であると判断できます.
同様にx>β[>α]だとx-α>0, x-β>0なのでf'(x)>0がいえます.
x=βで導関数f'(x)の値が負から正へ変わるので極小となるわけです.

LUX SIT

[訂正]
f'(x)=3x^2-6ax+3b=3(x^2-2ax+b)=3(x-α)(x-β) [α<βと設定した]

[コメント] わざわざ方程式を解く必要はありません. 私は下の方が一般的な解き方だと思います.
解と係数の関係からα+β=2a, αβ=bですから(α-β)^2=(2a)^2-4b=4(a^2-b)です[これは求めやすい].
f(α)-f(β)=∫[β→α]f'(x)dx[ここはうまい工夫です]=3∫[β→α](x-α)(x-β)dx=(β-α)^3/2=4 [(β-α)^3=2^3]
これから(α-β)^2=4(a^2-b)=4⇔a^2-b=1と求めることができます.