Question

HAL

2枚目の(3)について質問です。
1枚目では、f(n)が多項式の場合g(n)もf(n)と次数が等しいと書いてありますが、f(n)が分数式の場合はどうなのでしょうか？
3枚目の解答を見てみると、分母がnの1次式で探すと書いてあって、日本語の意味すらよく分かりません。問題の分母は2次式なのに？？
誰か教えてください。よろしくお願いします。

式を解
く
2 項間漸化式の解き方
an+1=pan+f (n) (p=0,l;f(n) はnの式) ･･・･･･☆ 型の漸化
には,変形して an+1+g(n+1)=plan+g(n)}となるようなg(n) を見つけて
(an+
,
g(n)}が等比
数列になることを用いればよい
.
(i) f(n)がnの多項式の場合,g(n) もf(n)と次数が等しいnの多項式であ
る.g
(n
の係数を
)
未知数とおいて, ☆より係数を求めればよい。 特にf (n) が定数の場合は前頁で扱った
.

9 演習題(解答は p.75 )
次の式で定められる数列の一般項an を求めよ.
(1) a1=2, an+1=3an+2n²-2n-1 (n≧1)
(2) a₁=1, an+1-2an=n·2n+1 (n ≥1)
(3) a1=1, an+1 1/12/14
=
an+
n-1
n(n+1)
(n≧1)
64

9 (1)と(3) は, an+1+f(n+1)=k(an+f(n))
の形に変形するのがよいだろう.f (n) について,(1)
はnの2次式, (3) は分母がnの1次式で探せばよい.

数列 漸化式 数b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

f(n)が「1/(nの1次式)」のときも、あくまで便宜上ですが、「-1次の多項式」と見なせば、この方法で解くことができます。
「分母がnの1次式」というのは、恐らくそういうことです。
(3)の場合は、f(n)は「(nの1次式)/(nの2次式)」ですが、次数だけに注目すれば同様に-1次と見なせます。
実際、g(n)=1/(pn+q) とおくと、p=-1/2、q=0 となり、g(n)=-2/n が得られます。

HAL

回答ありがとうございます！
-1次とみなすんですね