Question

くら

すみません。括弧1の解答で、なぜ0と1の場合のみで考えるだけでいいのですか。
必要十分条件などがいまいち理解していないのかもしれないです。
よろしくお願いいたします。

り
ち50
問題4
実数 a,cに対し、 f(z) = az° + 4z+cとおく。このとき,k=1,2に対して次の命題を考える。
P(k):『すべての整数n に対して, f(n) は整数の k乗となる』
111。
口) P(1) が成り立つための必要十分条件は, a, c がともに整数であることを示せ。
口2) aが正の整数であることは,P(2) が成り立つための必要条件であることを示せ。
口3) P(2) が成り立つための必要十分条件は, a= 4, c=1またはa=1,c=4であることを示せ。

【解答)
(1) P(1):『すべての整数 nに対して,f(n) は整数』が成り
立つためには, f(0), f(1) が整数であることが必要であり,
f(0) = k, f(1) =1 (k, l は整数)とおける。
ところで、
f(0) = c, f(1) =a+4+c …①
なので,
C=k
a=l-k-4
令
a+4+c=l
c=k
k, l は整数なので, a, c は共に整数であることが必要。
逆に,a, cがともに整数であるとき, すべての整数nに対し
て,f(n) = an? + 4n+cは整数となり十分である。
以上より,P(1) が成り立つための必要十分条件は, a, c がと
もに整数であることが示された。
(2) P(2): 『すべての整数nに対して, f(n) は整数の2乗」が成
り立つためには, f(0), f(1) が整数の2乗であることが必要で
あり,f(0) = p°, f(1) = q?
これとのより,
(p, gは負でない整数) とおける。
Ic=p
a+4+c=q?
Ja=?-パ-4
…の
c= p?

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

らい

すべてのnで成り立つ必要があるので、具体的に何か数字を代入しても成り立たなければなりません。(必要条件)

f(x)はaとcの２つの未知数を含んでいるので、二式作ってやることで、aとcの必要条件がわかります。

そこで二つの数字には何を代入してもいいですが、n=0,1の場合が数字が小さく考えやすいというだけです。
0と1で少なくとも成り立たなければならず、そこで求まった条件が今回は十分条件でもあった、ということです。

くら

分かりました。ありがとうございました。