Question

あ

数Bの3項間の漸化式の問題です。83(2)3枚目の写真について、赤丸はkなのに青丸はnになっているのはなぜですか？

教 p.44~45
発展 3項間の漸化式 an+2 = pan+1 + qan
教 p.45問1
283 次のように定められた数列 {an}の一般項を求めよ。
(1) a = 1, a2 = 2, an+2 =
4an+1-3an
(2) ai = 1, a2 = 4, an+2
7an+1- 10an

83 (1) 漸化式 am+2 = 4an+1 一3am は, 2次方程式 x° = 4x-3 を満く
会 |
2次方程式 = 4x
の解を a, βとすると
たす解 x= 1, 3 を用いて
= 3(an+1-an)
an+2-an+1
an+2- aan+1
2
= Blan+!
an+2- 3an+1 = an+1 - 3am
と変形される。
のより,数列{am+1-dn}は公比3の等比数列であるから
an+1- Qm = 3"-1(a2-a) = 3"-1(2-1) = 3"-1
an+2- Bam+1
= a(an+1
と変形できる。
すなわち
an+1-Qn =3"-1
2より,数列{am+1 -3am}はすべての項が等しいから
an+1-3am = a2-3a, = 2-3·1= -1
すなわち an+1-3am = -1
よって、3から④を引いて
2a, = 3"-1+1
1
an ミ
2
ゆえに
[別解] 与えられた漸化式は
244

数列(b}は公比3の等比数列であり,b」 = a2-a, =2-1=1
数列{b}は,数列 {am}の階差数列であるから, n>2 のとき
数列{b,}は数列 {an}の
階差数列であることを利
bn = an+1 - an より,
an+2-Qn+1 = 3(an+1-an)
と変形される。bn
= an+1-anとおくと
bn+1 = an+2 an+1 より
bn+1 = 36»
用する。
であるから
bm
= 1·3"-1 = 3"-1
数列(6}は、数列 {a,}の階差数列であるから,nz2 のとさ
n-1
an = ai+23-1 = 1+
31-1
1
-1
k=1
3-1
2
a =1 であるから,an
;(3-1+ 1)は n=1のときも成り
2
三
立つ。
1
ゆえに
an
ニ
2