Question

ハック

なぜ楕円上の点を2cosθ、sinθとおいてるんですか？

例題
小取大 最小 S
MEE
***
稲円+y²=1の第1象限の点Pにおいて接線を引き,x軸,y軸と
交わる点をそれぞれ Q, R とする.線分OR の長さの最小値を求めよ. ま
た。このときの点Pの座標を求めよ.
考え方 楕円上の点をP(2cose, sine) とおいて考える.
y
x) (R
P (2cose, sin0 )
-2
0
/2 Q x
2
解答
楕円+y=1① 上の点Pの座標を
2010 2
P(2 cos 0, sine) (0<0<) とおくと,点Pにおける①の
119
接線は,
nie) +(97) 200)
X)(0 nie)-8800)=fg+x
2x cos 0
+ysin0=1+(nia
x²
4
楕円
J²
+
62=1
y=0 とおくと, x=-
2
2
上の点 (x1, yi) にお
より,
Q
1800
cos o
Cos'
ける接線は、
the X-
1
x=0 とおくと, y=-
より, R0.
R(0,
X1X
Viy
sin
sine
²+2=1
したがって,
)(0 nie
0+0200x軸上の点のy座標
4
1
QR2=-
10
+ = 4(1+tan²0)+(1+
COS20 sin²0
)+(1+
tan2
軸上の点のx座標
FX 1²aie +
=5+4tan²0+
15 +0000
le tan'
4 tan²0..
tan²0 = 9
1
1
1+
すなわち,
QR ≧3
tan²0 sin²0
buie & VS
Snie S) +
tan200より、
等号が成り立つとき,4tan_1
50-2005
tan²0
相加平均・相乗平均
720$dia=0000
の関係を利用
tang=1
08nies
OSAKE
QR>0
√2 ****** 1=³V (0$ 802
/2√6
よって, QR の最小値は p(2.6のとき,3
cos o=
3 3
3
3
1
3
2-05 800 €
sine=
方
3 3
BALAS
+0S #10 NO
8
楕円(+(%)=1上の点P(a,b)における接線とx軸、y軸が作る三角形
25+2√4 tau
=
第