Question

T

(2)が分かりません🙇‍♂️💦

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(2) 1+x≤e³≤1-x
(3)
1+x²
$35 (x<1)
(x>0)
X <Tan¹x<x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

暇つぶし

泥臭いですが…
もっとエレガントな方法ありそうです。
まず
f(x) = e^x - (1 + x)
などとおいて f の単調性を使って
x ≥ 0 において f(x) ≥ 0 (不等式1とする)
を示します。同様に
x ≥ 0 において e^(-x) - (1 - x) ≥ 0 (不等式2とする)
も示しておきます。
不等式1において x → -x と置換することで
x ≤ 0 において e^(-x) - (1 - x) ≥ 0 (不等式3)
を得ます。同様に不等式2から
x ≤ 0 において e^x - (1 + x) ≥ 0 (不等式4)
を得ます。
以上からすべての x に対して
e^x - (1 + x) ≥ 0 (不等式5)
e^(-x) - (1 - x) ≥ 0 (不等式6)
が成立します。
x < 1 に限定しても不等式5は成立するので
1 + x ≤ e^x (x < 1)
を得ます。
同様に
1 - x ≤ e^(-x) (x < 1)
となりますが、式変形により
e^x ≤ 1/(1 - x) (x < 1)
を得ます。

T

ありがとうございます！