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(1)f(63)は63以下の自然数のうち
63と互いに素なものの個数を表す
つまり1〜63の63個のうち63との最大公約数が1である個数を考えれば良い。
63を素因数分解すると
63＝3・12＝2^2・3^2
ということは2または3の倍数、例えば6や27は 63と互いに素ではない
逆に2の倍数でも3の倍数でもない数は63と互いに素になる。例えば53、61。
この個数がf(63)になる。
では集合で学んだn(A∪B)＝n(A)＋n(B)ーn(A∩B)を利用して2または3の倍数の個数を求め、63個から引くことにする。
2の倍数は2×1、2×2、・・・、2×31まであるから31個
3の倍数は3×1、3×2、・・・、3×21まであるから21個
6の倍数は10個
よって31＋21ー10で42個
f(63)＝63―42＝21個 (答)
(3)
p、qがともに素数であるがやり方は同じ。1からpqまでだから全部でpq個
あとは同じくpまたはqの倍数の個数を引くだけ。
つまりpの倍数の個数+qの倍数の個数からpとqの公倍数の個数を引けば良い
pの倍数はp×1、p×2、・・・p×qのq個
同様にqの倍数はp個
pとqの公倍数すなわちpqの倍数は1個。なぜなら範囲は1〜pqしかないから。つまりpq×1のみ。
よって
f(pq)＝pq―(q＋p―1)
なるほど！ありがとうございます
(2)同じやり方で解く
300＝3×(2×5)^2
今回は3つあるのでn(A∪B∪C)の公式を使う
つまり2、3、5の倍数の個数を数え
6、15、10の倍数の個数を引き
30の倍数の個数を足す