Question

魚見さん

等比数列を作っているようですが、
どこから等比数列を作る発想が生まれるのか　と　青線の項はどこから出てきたもの　なのかを教えてほしいです。

(1) 2次式g(x)=ax2+bx+c が与えられたとき, すべての自然数nに対して
f(n+1)-2f(n)=g(n) が成り立つような2次式 f(x) を, a,b,c を用いて求めよ。
(2) 漸化式 1=1, an+1=2an+n2-n-3(n=1,2,...) で与えられる数列{an}の一般
項 an をnで表せ。
( 10 大阪医大)
46

解
(1) f(x)=px'+gx+r とおくと,
f(n+1)-2f(n)
={p(n+1)2+g(n+1)+r}-2(pn²+qn+r)
これがg(n)=an²+ bn+c に等しくなるので, n, n の
係数,定数項を比較すると､
-p=a, (2p+g)-2q=b, (p+g+r)-2r=c
∴.p=-a,g=-2a-b, r=-3a-b-c
∴. f(x)=ax²- (2a+b)x-(3a+b+c)
(2) an+1=2an+n²-n-3.
(1)で=1,b=-1,c=-3 とおくと、
f(n)=-n²-n+1
f(n+1)=2f(n)+n²-n-3
(2)
①-② より, an+1-f(n+1)=2(an-f(n))
数列{an-f (n)}は公比 2,初項 α-f (1) = 2 の等比
数列であるから、
an-f(n)=2.2-1. an=2"-n²-n+1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マドラー

少し解答の順序を変えて説明させていただきます。

(1)は
f(n+1)-2f(n)=g(n)
の関係式を利用してf(x)を求めてみようという問題

(2)は
aₙ₊₁ = 2aₙ+n²-n-3
を変形して
aₙ₊₁ - 2aₙ = n²-n-3 ･･･①
となるので、この式を
f(n+1)-2f(n)=g(n)
の関係式と比較し、利用してaₙを求めてみようという問題

というような構成になってます。

(2)は、この考え方でみてみると
f(n) を aₙ 、g(n)= n²-n-3 とみれるので
g(n) = an²+bn+c
からa=1 ,b=-3, c=-3とおけば
g(n)= n²-n-3
となるので、①は
aₙ₊₁ - 2aₙ = g(n) ･･･①
したがって、
f(n+1)-2f(n)=g(n) ･･･②
の式を使って①-②で余計なg(n)を消去すると
aₙ₊₁ - f(n+1) - 2( aₙ - f(n) ) = 0

∴ 　aₙ₊₁ - f(n+1) = 2( aₙ - f(n) )
となり、これは公比2の等比数列の漸化式の形*で、
(* 等比数列を作るというより、できた形が等比数列になってるという考え方。慣れれば、「簡単な形の漸化式になって、等比数列とかになるんだろう」と考えられます。)
初項は
a₁ - f(1)
で、a₁ = 1 とa,b,cの値を(1)のf(n)結果に代入すればf(n)が求められてf(1)が計算できるので
a₁ - f(1) = (省略) =2
となり、あとは通常通り数列{ aₙ - f(n) }の一般項を求めて最後にf(n) を代入すれば答えになります。

わかりにくかったらすいません。

魚見さん

大変わかりやすかったです！助かりました！
ありがとうございました！