Question

もちゃ

278番の問題が全く分からないです。
回答には、y＝f^-1(x)とおくと、x＝f(y)＝1/y^3＋1
と書かれているのですが、そこが特にわからないです(><)
なぜf(x)＝1/x^3＋1だったのに、x＝f(y)＝1/y^3＋1にできるのでしょうか？
逆関数の内容が抜けているのかなと思って復習し直したり、逆関数の微分の項も読んだのですが、全く分かりませんでした。
教えていただけると助かります、よろしくお願いいたします。

*278 f(x)=
279
1
x3+1
の逆関数f'(x)のx=1/14 における微分係数を求めよ。
cは定数とし,関数f(x)はx=cで微分可能とする。このとき,次の
まな
じた田いてみ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

沢木陽織

例えば、f(x)=x^3、g(x)をその逆関数とします。f(0)=0,f(1)=1,f(2)=8,f(3)=27,……のようになりますから、逆関数の定義的にg(0)=0,g(1)=1,g(8)=2,g(27)=3,……が成り立ちます。
これを見ると、g(f(x))=xが常に成り立っていることが分かるでしょうか。また同時に、f(g(x))=xも成り立ちます。
そこで、解答を見てください。まず、f^(-1)(x)の微分係数を求めるのですから、y=f^(-1)(x)と置くのはごく自然なことですよね？その上で、両辺を関数f(x)に入れています。すると、左辺はそのままf(y)、右辺はf(f^(-1)(x))=xとなります。

もちゃ

回答ありがとうございます！
初歩的な部分なのですが、分からないところがもうひとつあったので、答えていただけると助かります。

教科書に b＝f(a) 同値 a＝f^-1(b) とあったのですが、それは

y＝ax＋b＝f(x) を考えて、 これを変形すると
x＝(y-b)/a

このxについて解いた式でxとyを入れ替えて

y＝(x-b)/a＝f^-1(x) これが逆関数の形で

b＝f(a) 同値 a＝f^-1(b) っていうのは、

y＝ax＋b 同値x＝(y-b)/a

という考え方であってますか？

沢木陽織

そうですそうです！まさにそれが逆関数の考え方です

もちゃ

良かったです！ご返答ありがとうございます！☺︎