Question

りらっくま

積分についてです。
写真の問題の⑵が解説を読んでも理解できないので解説お願いします。おそらく、⑴の問題とつながっているので⑴の答えを記載しておくと、
π/4です。⑴は自力で解けたので⑵の解説をおねがいします！！

(1) 定積分 So ユーメ
店
1
1-x2
-dx の値を求めよ.
(2) n2以上の自然数とするとき、 次の不等式が成り立つことを示せ.
1/2 = 1 +
1dxs ²7/1
1-xn

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

yuta

これで多分合ってると思います
答えと違うところ、分からないところがあったら言ってください

Answer 2

Nn_nt

積分区間のxの大小関係を利用してとにかく式変形していきます。
0≦x≦1/√2①
n≧2より0≦x^n≦x^2
-x^2≦-x^n≦0
1-x^2≦1-x^n≦1 (1-x^2,1-x^n)①より>0
1≦1/1-x^n≦/1/1-x^2
1≦1/√(1-x^n)≦1/√(1-x^2)
①の範囲で積分すると
∫dx≦∫1/√(1-x^n)≦∫1/√(1-x^2) が得られ
∫1/√(1-x^2)は(1)の結果よりπ/4なので
1/√2≦∫1/√(1-x^n)≦π/4