Question

雲

この問題教えてください。一般項は分かりますがその後がわかりません

(x+530
を展開
最大になるか
したときつじの何乗の係数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きょん

二項定理より、
(x+5)^80=x^80+…+80Cr x^(80-r) 5^r+…+5^80

係数が最大となる時、80Cr 5^rが最大となる。
ここで、ひとつ後ろの項を考える。最大となる場合は、後ろの係数よりも大きいため
80Cr 5^r>80C(r+1) 5^(r+1)

5^rで割って
80Cr >80C(r+1) 5

80Cr= 80!/{80-(r)}!(r)!
80C(r+1) =80!/{80-(r+1)}!(r+1)!
なので、

1/{80-(r)}!(r)!> 5/{80-(r+1)}!(r+1)!
(r+1)/{80-(r)}!> 5/{80-(r+1)}!
(r+1)> 5(80-r)
6r> 399
r>66.5

つまり、rが66.5よりも大きい値になれば、係数は減少していく。したがって、最大値はr=67の時である。このとき、xの次数は80-67=13